[論文レビュー] On some low dimensional quantum groups

W. Pusz, Piotr M. Sołtan|ArXiv.org|Dec 20, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、C*-代数的および作用素代数的手法を用いて、アフィン群 'az+b' および 'ax+b' の量子変形として低次元量子群を構成し、分析する。パラメータ q に基づき3種類の量子変形を分類し、乗法的ユニタリを用いて余乗法を確立する。量子 'ax+b' 群は、根の単位根である場合に有限サイズのバージョンに還元可能であり、最小サイズは 2 であることを示す。

ABSTRACT

This paper is an adaptation of a chapter from an upcoming monograph on noncommutative geometry and quantum groups. We present examples of non compact quantum groups which are deformations of low dimensional Lie groups. The paper is of expository nature and provides both particular examples and some general procedures for constructing them.

研究の動機と目的

• アフィン 'az+b' および 'ax+b' 群の量子変形として低次元量子群を構成し、分類すること。
• ヒルベルト空間上の非有界作用素による交換関係の実現における技術的課題に対処すること。
• 乗法的ユニタリを介した余乗法を用いた C*-バイアルゲブラ構造を確立すること。
• 量子 'ax+b' 群のサイズを分析し、変形パラメータが単位根である場合に有限サイズのバージョンが生じることを示すこと。
• 量子 'ax+b' 群の最小サイズが 2 であり、パラメータ s が単位根である場合に達成されることを示すこと。

提案手法

• 生成子 a, b, β, w を特定の交換関係で定義することにより、C*-代数的アプローチを用いて 'az+b' および 'ax+b' 群の量子変形を実現する。
• 代数的レベルで、余乗法 Δ(a) = a⊗a および Δ(b) = a⊗b + b⊗I を持つホップ *-代数構造を用いる。
• L²(ℝ×S¹)⊗L²(ℝ×S¹) 上に作用する乗法的ユニタリ作用素 W を構成し、五角形方程式 W₁₂W₁₃ = W₂₃W₁₂W₂₃* を満たすことを確認する。
• 量子ダブル構成を用いて、量子 'az+b' 群から GL(2,ℂ) の量子変形を導出する。
• Zakrzewski の関係を用いて、log(π(a)) と log(π(|b|)) が標準的交換関係を満たすことを示し、Stone–von Neumann の定理により無限次元的完全性が示されることを示す。
• s^N = 1 のとき、C*-代数 A を w^N − I で生成されるイデアルで商することで、量子 'ax+b' 群のサイズを縮小し、サイズ 2N の有限サイズの量子群が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界作用素によるヒルベルト空間上の実現における課題を克服して、'az+b' および 'ax+b' 群の C*-代数的レベルでの量子変形をどのように構成できるか。
• RQ2 量子 'az+b' 群の3つの明確に異なるタイプとは何か。また、それらは変形パラメータ q の値にどのように依存するか。
• RQ3 乗法的ユニタリ作用素 W は、量子 'ax+b' 群の構成において、余乗法をどのように符号化し、五角形方程式を満たすか。
• RQ4 量子 'ax+b' 群のサイズはどのように決定され、変形パラメータが単位根になるとそのサイズはどのように変化するか。
• RQ5 量子ダブル構成を用いて、GL(2,ℂ) やローレンツ群のようなより大きな群の量子変形を 'az+b' 量子群から得ることは可能か。

主な発見

• 本稿では、q で生成される部分群 Γ_q に基づき、量子 'az+b' 変形の3種類のタイプ—(I)、(II)、(III)—を特定し、それぞれが異なるスペクトル的および幾何的構造を持つことを示す。
• 量子 'ax+b' 群において、C*-バイアルゲブラ (A, Δ) は、五角形方程式を満たす乗法的ユニタリ W を用いて構成され、余乗法の結合性が保証される。
• 一般に、量子 'ax+b' 群は無限大のサイズを持つことが示され、その表現は標準的交換関係の唯一の無限次元的完全表現の倍数である。
• 変形パラメータ q² = e^(-iħ) が単位根である場合、量子 'ax+b' 群は w^N − I で生成されるイデアルで商することで、サイズ 2N の有限サイズの量子群に還元可能であり、N は s^N = 1 を満たす最小の整数である。
• 量子 'ax+b' 群の最小可能なサイズは 2 であり、これは s が位数 2 の原始的単位根である場合に達成され、既知の '古い' 量子 'ax+b' 群に対応する。
• 量子ダブル構成を量子 'az+b' 群に適用することで、GL(2,ℂ) の量子変形が得られ、また、ローレンツ群の2種類の異なる量子変形の構成にも用いられる。