[論文レビュー] The Haar measure on some locally compact quantum groups

Alfons Van Daele|ArXiv.org|Sep 1, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 30被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、Woronowiczの量子$az+b$-群のハール測度を、スケーリング群に関して厳密に不変ではなく、相対的に不変であることを示す、新しい技法を用いて構成する。これは、局所コンパクトな量子群における非不変ハール測度の最初の具体的な例を提供し、Kustermans-Vaes理論の主要な予測を確認するとともに、その基礎的枠組みを裏付けるものである。

ABSTRACT

The Haar measure on some locally compact quantum groups is constructed. The main example we treat is the az+b-group of Woronowicz. We also briefly consider some other examples (like the ax+b-group). We get the first examples of a locally compact quantum group where the Haar measure is not invariant with respect to the scaling group.

研究の動機と目的

• 局所コンパクトな量子群理論における最近導入された例であるWoronowiczの量子$az+b$-群のハール測度を構成すること。
• この例におけるハール測度が、従来の仮定とは異なり、スケーリング群に関して厳密に不変ではなく、相対的に不変であることを示すこと。
• ハール測度が相対的に不変である事例を明示的に提供することにより、局所コンパクトな量子群のKustermans-Vaes枠組みを検証すること。
• 他の量子群例にまで適用可能な一般化可能な技法を構築・適用すること、この特定のケースにとどまらないこと。

提案手法

• 離散群とその双対のペアリングに関するヘイゼンベルク表現に基づく表現論的アプローチを用いる。
• $(W\xi)(g,h) = \xi(g, g^{-1}h)$ で定義される $L^2(G) \otimes L^2(G)$ 上のユニタリ作用素 $W$ を用いて、コマルティプリケーションのユニタリ実装を構成する。
• クロス積構成とコンパクト作用素の表現論を用いて、ホップ$^*$-代数レベルから$C^*$-代数レベルへの表現の持ち上げを実施する。
• 交換関係 $b a^{-1} = e^{\pi i/n} a^{-1} b$ から導かれる結果（補題A.5）を応用し、群の解析的生成子を検証する。この結果は、$e^{\pi i/(2n)} a^{-1}b$ で生成される一パrameterユニタリ群の性質に基づく。
• $C_0(G) \times_\alpha G$ が $L^2(G)$ 上のコンパクト作用素と同型であるという事実に依拠し、表現の分類を可能にする。
• この技法は、$az+b$-群にとどまらず、論文の最後の節で示されるように、他の例にも一般化可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kustermans-Vaes理論が予測するように、量子$az+b$-群はスケーリング群に関して厳密に不変でないハール測度を有するか？
• RQ2 Woronowiczの標準的手法が機能しない量子群に対して、ハール測度を構成するための体系的な方法を開発できるか？
• RQ3 量子$az+b$-群におけるハール測度の不変性の性質は、正確にはどのようなものか？古典的ケースとはどのように異なるか？
• RQ4 $C^*$-代数の表現論およびクロス積を用いて、非自明な量子群におけるハール測度の存在をどのように構成・検証できるか？
• RQ5 提案された手法は、類似した構造的特徴を有する他の量子群へどの程度一般化可能か？

主な発見

• 量子$az+b$-群のハール測度が明示的に構成され、この非自明な例における存在が確認された。
• ハール測度がスケーリング群に関して厳密に不変ではなく、相対的に不変であることが示された。これは理論的予測ではあったが、この研究以前には具体的な例が存在しなかった。
• この構成技法により、Woronowiczの元来の方法の制限を克服し、ハール測度をホップ$^*$-代数レベルから$C^*$-代数レベルへ持ち上げることに成功した。
• この手法は一般化可能であり、$\mathbb{Z}_{2n} \times \mathbb{R}$ や $\mathbb{T} \times \mathbb{Z}$ といった他の例にも応用可能であることが示され、広範な適用可能性が裏付けられた。
• 本研究により、Kustermans-Vaesの局所コンパクトな量子群の枠組みが一貫的で予測可能であることが立証され、ハール測度の相対的不変性を正しく記述していることが確認された。
• この結果は、Kustermans-Vaesの局所コンパクトな量子群の定義が、古典的な局所コンパクト群の正しい一般化であるという強い証拠を提供する。