[論文レビュー] On some mean square estimates for the zeta-function in short intervals

Aleksandar Ivić|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、指数和推定とボロノイ型の公式を用いて、リーマンゼータ関数の短区間における誤差項 $ E^*(t) $ 及びその積分 $ R(t) $ の平均平方について、改善された下界を確立する。$ H \geq T^{2/3+\varepsilon} $ のとき、$ \int_T^{T+H} (E^*(t))^2 dt \gg HT^{1/3}\log^3 T $ および $ \int_T^{T+H} R^2(t) dt \gg HT\log^3 T $ が成り立ち、従来の範囲を拡張し、これらの誤差関数が短区間でも大きな値をとることを確認する。

ABSTRACT

Let $Δ(x)$ denote the error term in the Dirichlet divisor problem, and $E(T)$ the error term in the asymptotic formula for the mean square of $|ζ(1/2+it)|$. If $E^*(t) = E(t) - 2πΔ^*(t/2π)$ with $Δ^*(x) = -Δ(x) + 2Δ(2x) - 1/2Δ(4x)$ and we set $\int_0^T E^*(t)\,dt = 3πT/4 + R(T)$, then we obtain $$ \int_T^{T+H}(E^*(t))^2\,dt \gg HT^{1/3}\log^3T $$ and $$ HT\log^3T \ll \int_T^{T+H}R^2(t)\,dt \ll HT\log^3T, $$ for $T^{2/3+ε}\le H \le T$.

研究の動機と目的

• 短区間 $[T, T+H]$ における $ E^*(t) $ 及び $ R(t) $ の平均平方に対する下界が成り立つ $ H $ の範囲を改善すること。
• $ E^*(t) $ 及び $ R(t) $ が短区間で大きな振動を示すことを確立し、それらが小さくなりすぎないことを確認すること。
• 新しい推定を用いて、$ \int_0^T (E^*)^2 dt $ 及び $ \int_0^T R^2(t) dt $ の漸近公式の有効範囲をより短い区間へ拡張すること。
• $ E^*(t) $ 及び $ R(t) $ の大きさ分布、特に短区間における大きな正負の値の存在を調査すること。

提案手法

• Atkinsonの $ E(T) $ の明示公式および $ \Delta^*(x) $ のボロノイ型の公式を用い、$ E^*(t) $ 及び $ R(t) $ を振動的指数和の形に表現すること。
• 2次元指数和推定を応用し、$ E^*(t) $ 及び $ R(t) $ の漸近展開における誤差項を制御すること。
• 三角恒等式および $ \sin x $ の有界性を用いて、$ \sin^2(\cdots) $ 及び $ \sin(\cdots) $ 項を含む振動的積分を推定すること。
• 和を $ K < n \leq 2K $ のdyadic区間へ分解し、$ \ll_{\varepsilon} T^{1/2+\varepsilon}(HK^{3/2} + T^{1/2}K^2) $ 及び類似の有界性を用いて指数和の $ L^2 $-ノルムを推定すること。
• 恒等式 $ 1 - \cos \gamma = 2\sin^2(\gamma/2) $ 及び $ |\sin x| \geq \frac{2}{\pi}|x| $（$ |x| \leq \pi/2 $ のとき）を用いて、振動的寄与から主要項を抽出すること。
• 主項を $ \sum_{n \ll T^{1/3}} d^2(n) n^{-3/2} \int_T^{T+H} t^{1/2} \sin^2(\cdots) dt $ と比較し、$ HT^{1/3}\log^3 T $ のオーダーの下界を得ること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 下界 $ \int_T^{T+H} (E^*(t))^2 dt \gg HT^{1/3}\log^3 T $ が成り立つ $ H $ の範囲を、$ H \geq T^{5/6+\varepsilon} $ を超えて改善できるか。
• RQ2 誤差項 $ E^*(t) $ 及び $ R(t) $ は、$ H \geq T^{2/3+\varepsilon} $ の短区間で大きな正負の値を示すか。
• RQ3 $ \int_0^T R^2(t) dt $ の漸近公式における誤差項は、$ O_{\varepsilon}(T^{11/6+\varepsilon}) $ を超えて改善可能か。
• RQ4 下界 $ \int_T^{T+H} R^2(t) dt $ が $ H \geq T^{2/3+\varepsilon} $ に対して確立可能か。これは $ E^*(t) $ の改善範囲と一致する。
• RQ5 短区間における $ E^*(t) $ 及び $ R(t) $ の正確な大きさは何か。また、$ E(t) $ 及び $ \Delta(x) $ と同様に $ \Omega $-結果を満たすか。

主な発見

• $ T^{2/3+\varepsilon} \leq H \leq T $ のとき、$ E^*(t) $ の平均平方は $ \int_T^{T+H} (E^*(t))^2 dt \gg HT^{1/3}\log^3 T $ を満たし、従来の下界の範囲が改善される。
• 同じ $ H $ の範囲について、$ R(t) $ の平均平方は $ \int_T^{T+H} R^2(t) dt \gg HT\log^3 T $ を満たし、$ R(t) $ の $ \Omega $-結果の有効範囲が拡張される。
• $ T^{\varepsilon} \leq H \leq T $ のとき、上界 $ \int_T^{T+H} R^2(t) dt \ll_{\varepsilon} HT\log^3 T + T^{5/3+\varepsilon} $ が成り立ち、短区間における成長率が確認される。
• この結果から、$ H = T^{2/3+\varepsilon} $ である任意の区間 $[T, T+H]$ には、$ |E^*(t)| \gg t^{1/6}\log^{3/2}t $ および $ |R(t)| \gg t^{1/2}\log^{3/2}t $ を満たす点が存在することが示され、非自明な振動が保証される。
• 証明は指数和の推定と振動的積分からの主要項抽出に依拠し、誤差項は $ O_{\varepsilon}(T^{1+\varepsilon}) $ の有界性で制御される。
• $ R(t) $ の漸近的構造が $ n \leq T^{1/2-\varepsilon} $ の和によって支配されることを示し、主要寄与は $ n \ll T^{1/3} $ から生じ、これにより下界が得られる。