[論文レビュー] Some moduli spaces of Bridgeland's stability conditions

Hiroki Minamide, Shintarou Yanagida+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、ピカール数 1 のアーベル面およびK3面におけるブリジゲランド半安定対象のモジュライ空間が、ギーゼッカー半安定層のモジュライ空間に同型となる条件を確立する。(β, ω) でパrameter化される安定性条件とねじれ付きフーリエ＝ムーカイ変換を用いて、一般の (β′, ω′) が (β, ω) の近傍にある場合、ブリジゲランドモジュライ空間は古典的ギーゼッカーモジュライ空間と一致することを示し、双対性を用いてこれらの空間の非常に鋭い構造を導出する。

ABSTRACT

We shall study some moduli spaces of Bridgeland's semi-stable objects on abelian surfaces and K3 surfaces with Picard number 1. Under some conditions, we show that the moduli spaces are isomorphic to the moduli spaces of Gieseker semi-stable sheaves. We also study the ample cone of the moduli spaces.

研究の動機と目的

• アーベル面およびK3面においてピカール数 1 の場合に、ブリジゲランド半安定対象のモジュライ空間と古典的ギーゼッカー半安定層のモジュライ空間との同型を確立すること。
• ブリジゲランド安定性条件が、ギーゼッカーモジュライ空間に同型となるプロジェクト型の粗モジュライスキームを生じる条件を特定すること。
• 導来カテゴリの技法とフーリエ＝ムーカイ変換を用いて、ブリジゲランド半安定対象のモジュライ空間の非常に鋭い構造を記述すること。
• ブリジゲランド安定性が、特にねじれ付きフーリエ＝ムーカイ変換の文脈において、導来カテゴリの双対性対称性と整合することを示すこと。

提案手法

• X の一貫層の導来カテゴリ D(X) に、Mukai格子上のMukaiペアリングを用いて定義される安定性関数 Z_{(β,ω)} を用いて、ブリジゲランド安定性条件 σ_{β,ω} を構成する。
• X × X₁ 上の普遍族 E の導来双対およびシフトを用いて、ねじれ付きフーリエ＝ムーカイ変換 Φ: D(X) → D^α(X₁) を定義し、これによりブリジゲランドとギーゼッカー半安定対象の間の対応を生じる。
• Mukaiベクトルの r_β(v)、a_β(v)、d_β(v) を用いた成分分解を用いて、安定性条件とウォールクロッシングの挙動を分析する。
• 正確な三角形の議論と、ホモロジー複体上の消失定理を用いて、変換の像に属する対象が、ねじれ付き層であり、新しい安定性条件のもとで半安定であることを証明する。
• 位相関数 φ_{(β,ω)} を分析し、ウォールクロッシング技法を用いて、一般の (β′, ω′) が (β, ω) の近傍にある場合、モジュライ空間構造において安定性条件が変わらないことを示す。
• フーリエ＝ムーカイ変換を介して、双対面 X₁ 上の自然な非常に鋭いクラスの引き戻しを用いて、モジュライ空間 M_{(β,ω)}(v) の非常に鋭い構造を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K3面またはアーベル面上のブリジゲランド半安定対象のモジュライ空間が、ギーゼッカー半安定層のモジュライ空間に同型となる条件は何か？
• RQ2 (β, ω) の選択が、モジュライ空間の同型型にどのように影響を与えるか？
• RQ3 導来カテゴリの技法を用いて、ブリジゲランドモジュライ空間の非常に鋭い構造を明示的に記述できるか？
• RQ4 ねじれ付きフーリエ＝ムーカイ変換は、ピカール数 1 の曲面上におけるブリジゲランド安定性とギーゼッカー安定性をどのように関連付けるか？
• RQ5 ウォールクロッシングの挙動は、(β, ω) の微小な摂動の下でモジュライ空間の構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• ピカール群が ZH に等しいアーベル面またはK3面 X に対して、(β′, H) = (β, H) を満たす一般の (β′, ω′) が (β, ω) の近傍にあるとき、ブリジゲランド半安定対象のモジュライ空間 M_{(β′,ω′)}(v) は、Mukaiベクトル u = Φ(v) または u = Φ(v)^∨ を持つねじれ付き層のギーゼッカーモジュライ空間 M_{H₁}(u)^{ss} に同型である。
• 粗モジュライスキーム M_{(β,ω)}(v) は存在し、(β, ω) が v に対して一般であるとき、プロジェクト型スキーム M_{Ĥ}(Φ(v)) に同型である。
• M_{(β,ω)}(v) の非常に鋭い構造は、双対面 X₁ 上の自然な非常に鋭いクラス Ĥ の引き戻しを用いて記述される。
• 安定性条件 σ_{(β,ω)} は、フーリエ＝ムーカイ変換 Φ_{X→X′}^{F∨} がブリジゲランド半安定対象を双対カテゴリ内の半安定対象に写すことによって、D(X) 上に双対性対称性を誘導する。
• モジュライ空間の同型は、(β, ω) が v に対して任意のウォールの外にある、または w₁ で定義されるちょうど1つのウォール上にある場合に成立し、その近傍に不安定化対象が存在しないことが条件である。
• 証明は、導来カテゴリにおけるホモロジー複体の消失と、ウォールクロッシングにおける位相関数 φ_{(β,ω)} の挙動に依拠しており、これにより変換が半安定性およびねじれ付き層のトーショントリビューションを保つことが保証される。