[論文レビュー] On some partitions of a flag manifold

G. Lusztig|ArXiv.org|Jun 8, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、複素数体上の再帰的群における単型元に関連する旗多様体分割 $Β_g^w$ の位相的性質を、$l$-進コホモロジーおよび字跡層の技法を用いて研究する。中心的元 $\Pi_{g,z}$ を導入し、そのトレース不変量 $\Xi^{w}_{g,z}$ がスプリンガー対応および単型類からワイル群の共轭類への写像と関連することを示す。これらの不変量が表現論と結びつく一般予想を支持する証拠が提示される。

ABSTRACT

In an earlier paper by Kazhdan and the author, a map from the set of unipotent classes in a reductive connected group over C to the conjugacy classes in the Weyl group was defined. Here we present some experimental evidence for a possibly alternative definition of that map in terms of the pieces in certain partitions of the flag manifold.

研究の動機と目的

• 再帰的群 $G$ 内の単型元 $g$ に対して、$\mathcal{B}_g^w = \{B \in \mathcal{B} \mid (B, gBg^{-1}) \in \mathcal{O}_w\}$ の多様体の位相的構造を調査すること。
• $\overline{Z}(g)$ の作用を備えた $\mathcal{B}_g^w$ の $l$-進コホモロジーが、$G$ の表現論に関する情報をどのように符号化するかを理解すること。
• $z \in \overline{Z}(g)$ によるコホモロジー上でのトレースから得られる不変量 $\Xi^{C}_{g,z}$ が、スプリンガー対応および単型類からワイル群の共轭類への写像と関連しているという予想を検証すること。
• [KL, 9.1] の手法を対称空間へ拡張し、$K$-軌道 $\mathfrak{p}_{\text{nil}}$ から相対ワイル群 $\underline{\mathcal{W}}$ の共轭類への写像 $\Psi$ を定義すること。

提案手法

• $l$-進コホモロジーと重みフィルトレーションを用い、$\Xi^{w}_{g,z} = \sum_{i,j} (-1)^i \text{tr}(z, H^i_c(\mathcal{B}_g^w, \overline{\mathbb{Q}}_l)_j) v^j \in \mathbb{Z}[v]$ を定義する。
• $\hat{T}_w = v^{-2l(w)} T_w$ を用いて、Iwahori-Hecke代数 $\mathcal{H}$ 内に $\Pi_{g,z} = \sum_{w \in \mathbb{W}} \Xi^{w}_{g,z} \hat{T}_w$ を構成する。
• [DL, Theorem 1.6] に類似した議論を用い、フロベニウスを $g$ による共轭に置き換えることで、$\Pi_{g,z}$ が $\mathcal{H}$ の中心にあることを証明する。
• 単型元 $g$ に対して、$C \in \underline{\mathbb{W}}$ について $\Xi^{C}_{g,1}$ を計算し、$\Xi^{C}_{g,1} \neq 0$ かつ $g$ の共轭類の境界で消えるような $C$ の集合を $\mathbb{S}_g$ と定義する。
• $\mathfrak{p}_\Phi = \Phi \otimes \mathfrak{p}$ 内の正則半単純の持ち上げを用い、$\text{unipotent } K\text{-orbits in } \mathfrak{p}_{\text{nil}}$ から $\underline{\mathcal{W}}$ への写像 $\Psi$ を定義し、[KL, 9.1] を一般化する。
• $A_1, A_2, B_2, G_2$ などの低ランク群における明示的計算を通じて、$\Xi^{C}_{g,1}$ および $\mathbb{S}_g$ のサイズに関する予想を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単型元 $g$ に対するコホモロジー的不変量 $\Xi^{C}_{g,1}$ は、$g$ の単型類に対応するワイル群の共轭類 $C$ を特定できるか？
• RQ2 $\Xi^{C}_{g,1}$ が非ゼロとなる数、すなわち $|\mathbb{S}_g|$ は、スプリンガー対応における $\overline{Z}(g)$ の既約表現の数に等しいか？
• RQ3 $\Xi^{w}_{g,1}$ は、$\mathbb{W}$ が $\bigoplus_i H^{2i}(\mathcal{B}_g, \overline{\mathbb{Q}}_l)$ に作用するスプリンガー表現における $w$ のトレースに等しいか？
• RQ4 $G=H\times H$, $K=\text{diag}(H)$ の場合に [KL, 9.1] で用いられた手法を、写像 $\Psi$ を通じて対称空間 $G/K$ に一般化できるか？
• RQ5 $K$-軌道 $\mathfrak{p}_{\text{nil}}$ から $\underline{\mathcal{W}}$ への写像 $\Psi$ は一般に単射または全射か？

主な発見

• $G = PGL_3(\mathbb{C})$, $g$ が正則半単純の場合：$\Pi_{g,1} = 6 + 3(v^2 - 1)(\hat{T}_1 + \hat{T}_2) + (v^2 - 1)^2(\hat{T}_{12} + \hat{T}_{21}) + (v^6 - 1)\hat{T}_{121}$。
• $G = PGL_3(\mathbb{C})$, $g$ が移動変換の場合：$\Pi_{g,1} = (2v^2 + 1) + v^4(\hat{T}_1 + \hat{T}_2) + v^6\hat{T}_{121}$。
• $G$ が $A_1$ 型の場合：$\mathbb{S}_{u_1} = \{(1)\}$, $\Xi^{1}_{u_1,1} = 1 + v^2$, および $\mathbb{S}_{u_0} = \{(s_1)\}$, $\Xi^{s_1}_{u_0,1} = v^2$。
• $G$ が $B_2$ 型の場合：$\mathbb{S}_{u_4} = \{(1)\}$, $\Xi^{1}_{u_4,1} = (1 + v^2)^2(1 + v^4)$, および $\mathbb{S}_{u_1} = \{(s_2), (s_1s_2s_1s_2)\}$, ここで $\Xi^{(s_2)}_{u_1,1} = 2v^4$ および $\Xi^{(s_1s_2s_1s_2)}_{u_1,1} = v^6(v^2 - 1)$。
• $G$ が $G_2$ 型の場合：$\mathbb{S}_{u_6} = \{(1)\}$, $\Xi^{1}_{u_6,1} = (1 + v^2)^2(1 + v^4 + v^8)$, および $\mathbb{S}_{u_1} = \{(s_1s_2s_1s_2)\}$, ここで $\Xi^{(s_1s_2s_1s_2)}_{u_1,1} = v^6(1 + v^2)$。
• 対称空間の場合、$(G,K) = (GL_{2n}(\mathbb{C}), Sp_{2n}(\mathbb{C}))$ では、$\Psi$ は $K$-軌道 $\mathfrak{p}_{\text{nil}}$ から $\underline{\mathcal{W}}$ への全単射である。