[論文レビュー] On Some Variants of the Gauss Circle Problem

David Lowry-Duda|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、GL(2)尖点形式のフーリエ係数の和と、1枚双曲面への格子点数え上げを含む、ガウスの円問題の2つの変種を調査する。新規のディリクレ級数およびスペクトル論的手法を用いて、メロモルフィックな拡張、改良された2次モーメントの推定、シフトされた畳み込み和との関係を確立し、古典的ガウスの円問題に類似した誤差項の理解を前進させる。

ABSTRACT

The Gauss Circle Problem concerns finding asymptotics for the number of lattice point lying inside a circle in terms of the radius of the circle. The heuristic that the number of points is very nearly the area of the circle is surprisingly accurate. In this work, we describe two variants of the Gauss Circle problem that exhibit similar characteristics. The first variant concerns sums of Fourier coefficients of $ ext{GL}(2)$ cusp forms. These sums behave very similarly to the error term in the Gauss Circle problem. We introduce new Dirichlet series with coefficients that are squares of partial sums of Fourier coefficients of cusp forms. We study the meromorphic properties of these Dirichlet series and use these series to give new perspectives on the mean square of the size of sums of these Fourier coefficients. The second variant concerns the number of lattice points of bounded size on one-sheeted hyperboloids. This problem is very similar to counting the number of lattice points within a spheres of various dimensions, except with the additional constraint of lying on a hyperboloid. It turns out that this problem is equivalent to estimating sums of the shape $\sum r_d(n^2 + h)$, where $r_d(m)$ is the number of representations of $m$ as a sum of $d$ squares. We prove improved smoothed and sharp estimates of the second moment of these sums, yielding improved estimates of the number of lattice points.

研究の動機と目的

• ガウスの円問題における誤差項と、GL(2)尖点形式のフーリエ係数の和との間の関係を確立すること。
• 尖点形式フーリエ係数の部分和の二乗を係数とする、新しいディリクレ級数を構築すること。
• これらの級数のメロモルフィック性および、尖点形式係数和の2次モーメントに与える影響を分析すること。
• 有界サイズの1枚双曲面上の格子点数を調べ、r_d(n² + h)の和と関連付けること。
• これらの格子点数え上げ関数の2次モーメントに対する、滑らか化および鋭い推定を改善すること。

提案手法

• 尖点形式フーリエ係数の部分和から得られる係数をもつ、ディリクレ級数 D(s, S_f) および D(s, S_f × S_g̅) を導入する。
• ランキン＝セルバーグ L 関数およびスペクトル展開を用いて、メロモルフィックな拡張技術を適用する。
• デコポーリング積分変換およびメリン＝バーンズ変換を用いて、ディリクレ級数の解析的性質を分析する。
• パウインカーレ級数およびイーゼンスタイン級数のスペクトル分解を用いて、連続的・離散的・残留スペクトルを分析する。
• リエス平均および指数的滑らか化などの積分変換を用いて、2次モーメント解析を処理する。
• セルバーグのスペクトル展開およびチャンドラセカラン＝ナラシマン理論を用いて、漸近的挙動を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL(2)尖点形式のフーリエ係数の和は、ガウスの円問題における誤差項に類似した漸近的挙動を示すか？
• RQ2 尖点形式係数の部分和の二乗から構成されるディリクレ級数のメロモルフィック性は何か？
• RQ3 スペクトル論およびディリクレ級数論的手法を用いて、尖点形式係数和の2次モーメントをどのように推定できるか？
• RQ4 有界サイズの1枚双曲面上の格子点数の漸近的挙動は何か？
• RQ5 r_d(n² + h) の和の2次モーメントに対して、滑らか化および鋭い推定を改善できるか？

主な発見

• ディリクレ級数 D(s, S_f × S_g̅) は完全にメロモルフィックに拡張可能であり、その極は尖点形式のスペクトルデータに関連している。
• 尖点形式フーリエ係数の部分和の2次モーメントが、現在の予想と整合する漸近的性質を満たすことが示された。
• r_d(n² + h) の和の2次モーメントに対して、滑らか化推定が改良され、双曲面上の格子点数え上げにおけるより良い誤差項が得られた。
• 双曲面上の格子点数え上げに関する鋭い主要定理が確立され、スペクトル解析によって改善された誤差項境界が得られた。
• 双曲面上の格子点問題が、∑ r_d(n² + h) の形のシフトされた畳み込み和を推定することと等価であることが確認された。
• 本手法は、シフトされた畳み込み和およびモジュラー形式を含む他の問題に対しても一般化可能なフレームワークを提供する。