[論文レビュー] Adaptive non-uniform B-spline dictionaries on a compact interval

Laura Rebollo‐Neira, Zhiqiang Xu|ArXiv.org|Aug 5, 2009

Image and Signal Denoising Methods参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、コン pact な区間を部分に分割し、各部分に B スプライン基底を構築した後、それらを統合してやや冗長な辞書を形成することにより、スパース信号表現のための適応的非一様 B スプライン辞書を提案する。この手法により、元の非一様分割に関連する完全なスプライン空間をカバーする辞書が得られ、標準的な B スプライン基底や他の辞書と比較して著しくスパースな表現が達成される。数値例により、近似に必要な原子の数が最大で80%まで削減されることを示している。

ABSTRACT

Non-uniform B-spline dictionaries on a compact interval are discussed. For each given partition, dictionaries of B-spline functions for the corresponding spline space are constructed. It is asserted that, by dividing the given partition into subpartitions and joining together the bases for the concomitant subspaces, slightly redundant dictionaries of B-splines functions are obtained. Such dictionaries are proved to span the spline space associated to the given partition. The proposed construction is shown to be potentially useful for the purpose of sparse signal representation. With that goal in mind, spline spaces specially adapted to produce a sparse representation of a given signal are considered.

研究の動機と目的

• 標準的な B スプライン基底がスパース信号表現を達成するのには限界があることに対処すること。
• 信号の特徴に応じて非一様な分割を用いて、柔軟に辞書を構築する手法を開発すること。
• わずかに冗長な非一様 B スプライン辞書が、従来の基底やウェーブレットと比較して著しくスパースな近似を達成できることを示すこと。
• スプライン空間をカバーするが、特定の信号に対してスパース性を向上させる辞書の一般化された構築フレームワークを提供すること。
• 信号処理や CAGD における実用的応用を可能にするために、必要な原子数や制御点数を削減すること。

提案手法

• 信号の特徴に基づいて、コンパクトな区間を部分に分割する。
• 各部分に対して、対応する局所的スプライン部分空間の B スプライン基底を構築する。
• すべての部分空間の基底を結合して、グローバルな辞書を形成し、やや冗長なシステムとする。
• 理論的証明により、得られる辞書が元の非一様分割に関連する完全なスプライン空間をカバーすることを示す。
• 以前に [12] で研究された均一な場合（特殊ケース）を一般化した構成である。
• スパース性の性能を評価するために、反復的原子選択アルゴリズム（OOMP に交換処理を組み合わせたもの）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたスプライン空間をカバーしつつ、よりスパースな信号表現を可能にする非一様 B スプライン辞書を構築できるか？
• RQ2 部分に分割する方法の選択が、得られる原子分解のスパース性にどのように影響するか？
• RQ3 非一様辞書が、特定の信号に対して、標準的な B スプライン基底や確立されたウェーブレット辞書と比較してスパース性に優れているか？
• RQ4 辞書の構造と、適応的スプライン空間における表現のスパース性との関係は何か？
• RQ5 信号がスプライン空間でよく近似できる場合、提案手法は既存の冗長辞書よりも効果的か？

主な発見

• 信号 $ f_1 $ に対して、提案された非一様 B スプライン辞書は 173 個の原子で十分であったのに対し、標準的な B スプライン基底では 1097 個必要で、原子数が 84% 減少した。
• 信号 $ f_2 $ では、辞書が 129 個の原子で達成されたが、基底では 322 個必要で、表現コストが 60% 減少した。
• 信号 $ f_3 $ では、辞書が 80 個の原子で達成されたが、離散コサイン変換（669 個）や Chui-Wang ウェーブレット基底（97 個）を上回った。
• 非一様辞書は、常に Chui-Wang カーディナル スプライン ウェーブレット 辞書（$ f_2 $ では 112 個）と基底（201 個）を上回り、より優れたスパース性を示した。
• 均一な B スプライン 辞書は、部分が均等に分割された特別な場合として得られるが、本手法はそれよりも効果的である。
• 最適な部分分割数は信号ごとに異なり、$ f_2 $ はその選択に最も敏感である一方、$ f_1 $ と $ f_3 $ は中程度の変動に対しても頑健である。