[論文レビュー] On spatial volume averaging in Lema\^ıtre--Tolman--Bondi dust models. Part I: back reaction, spacial curvature and binding energy

Roberto A. Sussman|ArXiv.org|Jul 8, 2008

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 24被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、Lemaître–Tolman–Bondi (LTB) ダストモデルにおける運動論的バックレアクションの厳密な解析的考察を、Buchertの空間平均化形式を用いて行っている。背後に隠れた負の曲率（双曲的）領域では、$\mathcal{Q} \geq 0$ が保証されることを示しており、これは、内側に楕円的（正の曲率）の収縮領域を含んでも成立する。この結果は、新たな場を導入することなく、効果的ダークエネルギー的加速の幾何的起源を示唆する。

ABSTRACT

We provide a comprehensive analytic study (rigorous and qualitative) of the conditions for the existence of a a positive kinematic back reaction term $\QQ>0$, in the context of Buchert's scalar averaging formalism applied to spherically symmetric Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) dust solutions in which averaging domains are given as spherical comoving regions containing a symmetry center. We introduce proper volume and quasi-local average functionals and functions in order to examine the conditions for $\QQ\geq 0$, and in the process we also explore the relation between back reaction, spatial curvature and binding energy for a wide variety of LTB configurations. The back reaction term is positive for all "hyperbolic" regular domains with negative spatial curvature, either in the full radial range or in the radial asymptotic range. This result is also valid if these domains contain an inner "elliptic" region with positive curvature undergoing local collapse. For some cases in which positive spatial curvature decreases asymptotically, the conditions for a positive back reaction can still be met but seem to be more restrictive. Since $\QQ>0$ is a necessary condition for a positive "effective" acceleration that would mimic the effect of dark energy (in the context of Buchert's formalism), we examine this issue in LTB models in a follow up paper (part II).

研究の動機と目的

• Buchertの平均化形式をLTB ダストモデルに適用した際、バックレアクション項 $\mathcal{Q}$ が非負となる条件を厳密に特定すること。
• 球対称な不均一時空における空間的曲率、束縛エネルギー、およびバックレアクションの相互作用を調査すること。
• 摂動近似や特定のモデル選択に依存せずに、$\mathcal{Q} \geq 0$ となる十分条件を確立すること。
• 半径方向の転送点（TVs）が平均化されたスカラー量およびその勾配の挙動に果たす役割を明確にすること。
• 第2部において、バックレアクションによってダークエネルギー効果を模倣できる可能性のある有効なLTB設定を同定する基盤を提供すること。

提案手法

• LTB時空における共動球対称領域の適切体積および準局所平均化関数を導出する。
• LTB方程式の正確解を用いて、Buchertのスカラー平均化形式を適用し、バックレアクション項 $\mathcal{Q}$ を計算する。
• 共変な束縛エネルギー関数を導入し、幾何的・力学的制約を通じて空間的曲率および $\mathcal{Q}$ と関連付ける。
• 半径方向の勾配および転送点（TVs）の厳密な解析を用いて、$\mathcal{Q} \geq 0$ が満たされる領域を特定する。
• 特異点（曲率および発散の転送点付近）を扱うために、l’Hôpitalの定理および漸近的解析を用いる。
• スケール因子 $R$ の転送点が、発散スカラー $\Theta$ の転送点を引き起こすことを証明し、幾何的構造と平均化された力学の間の関連を明確にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LTB ダストモデルにおける球対称性を満たす場合、バックレアクション項 $\mathcal{Q}$ が非負となる条件は何か？
• RQ2 空間的曲率、特に負の曲率が正の $\mathcal{Q}$ にどのように寄与するか？
• RQ3 束縛エネルギーは、バックレアクションによる効果的加速の出現にどのような役割を果たすか？
• RQ4 内側に楕円的領域と外側に双曲的領域を有する混合構造において、$\mathcal{Q} \geq 0$ を達成できるか？
• RQ5 $R$ および $\Theta$ の半径方向の転送点（TVs）が、平均化形式の有効性および $\mathcal{Q}$ の符号にどのように影響するか？

主な発見

• すべての双曲的（負の空間的曲率）で正則な領域において、バックレアクション項 $\mathcal{Q}$ は、全半径範囲および漸近的極限において厳密に正である。
• 双曲的領域に内側の楕円的領域（局所的収縮）を含んでも、$\mathcal{Q} \geq 0$ が依然として成立する。
• 漸近的に減少する正の曲率を有する構成では、$\mathcal{Q} \geq 0$ が可能であるが、より制限の厳しい条件を要する。
• スケール因子 $R$ の転送点（$R' = 0$）が、発散スカラー $\Theta$ の転送点を引き起こす。これは、このような点における幾何的量の連続性を保証する上で不可欠である。
• 束縛エネルギー関数は $\mathcal{Q}$ と幾何的に関連しており、Wiltshireの予想（バックレアクションは準局所的エネルギーおよび曲率効果に起因する）を支持する。
• 証明により、$R'(r_{\rm{tv}}) = 0 \Rightarrow \Theta'(r_{\rm{tv}}) = 0$ が成り立つことが示され、$R$ の転送点が $\Theta$ の転送点でもあることが確認された。これは、平均化形式の整合性を保つ上で重要な条件である。