[論文レビュー] On strong ergodic properties of quantum dynamical systems

Francesco Fidaleo|ArXiv.org|Feb 14, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、固定点C*-代数への条件付き期待値への状態平均の点ごとの弱収束によって定義される、量子力学的系における強い混合性（ergodicity）の性質を調査する。自由生成子を無限個持つ自由群や、RD群の縮小C*-代数におけるシフト、および結合自由積C*-代数が、この性質を満たすことを証明している。これは古典的力学においては非自明な類似物が存在しない性質であり、同様の条件を満たすのは唯一の点からなる自明な系に限る。

ABSTRACT

We show that the the shift on the reduced C*--algebras of RD--groups, including the free group on infinitely many generators, and the amalgamated free product C*--algebras, enjoys the very strong ergodic property of the convergence to the equilibrium. Namely, the free shift converges, pointwise in the weak topology, to the conditional expectation onto the fixed--point subalgebra. Provided the invariant state is unique, we also show that such an ergodic property cannot be fulfilled by any classical dynamical system, unless it is conjugate to the trivial one--point dynamical system.

研究の動機と目的

• 古典的力学において非自明な類似物が存在しない、量子力学的系における強い混合性の性質を特定・特徴づけること。
• 自己同型のCesàro平均が固定点C*-代数への条件付き期待値にノルム収束するための条件を確立すること。
• 特定の量子系、特に自由群や結合自由積系において、状態平均の点ごとの弱収束が平衡状態に一致するという、この強い混合性が成立することを示すこと。
• 古典的力学と量子力学的混合性の違いを明確にし、同様の収束条件を満たすのは唯一自明な古典的系に限ることを示すこと。

提案手法

• 論文は、単位的C*-代数 $\rm A$ 上の自己同型 $\alpha$ を持つC*-力学系 $({\rm A}, \alpha)$ を分析し、すべての状態 $\varphi$ および $a \in \rm A$ に対して $\varphi(\alpha^n(a))$ が $\varphi(E(a))$ に収束することを検討する。
• 固定点部分代数への条件付き期待値 $E$ を用い、$E(a) = \omega(a)\mathbf{1}$ と定義する。ここで $\omega$ は一意な不変状態である。
• GNS構成と、ヒルベルト空間上のトレースクラス作用素による状態の表現を用い、特に $q$-交換関係に対してはフォック表現を用いる。
• 正の下密度を持つ自然数の部分列を用いて、Cesàro平均の収束を混合性の性質と関連付ける。
• GNSヒルベルト空間内のベクトルの近似と、状態関数のノルムにおける $\epsilon$-バウンドによる誤差項の制御を含む、証明技法を用いる。
• ある条件下で、$({\rm A}, \alpha)$ が混合性を満たすならば $({\rm A}, \alpha^{-1})$ も同様に混合性を満たすことを示すことにより、前向きと後ろ向きのダイナミクスの双対性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態平均の点ごとの弱収束が平衡状態に一致するという、強い混合性の性質が非自明な量子力学的系で実現可能か？
• RQ2 この量子力学的混合性の古典的類似物は何か？ そして、非自明な系がこれを受け入れるか？
• RQ3 RD群の縮小C*-代数におけるシフト、たとえば無限個の生成子を持つ自由群において、この強い混合性条件を満たすか？
• RQ4 固定点C*-代数に関しての一意的混合性は、すべての正の密度部分列に沿ったCesàro平均のノルム収束と同値か？
• RQ5 この強い混合性の性質は $q$-変形交換関係へ拡張可能か？ また、フォック真空状態はこのような系においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 無限個の生成子を持つ自由群の縮小C*-代数におけるシフトは、強い混合性を満たす：すべての状態 $\varphi$ および $a \in \mathfrak{A}$ に対して $\lim_{n\to\infty}\varphi(\alpha^n(a)) = \varphi(E(a))$ が成り立つ。
• 同様の性質は結合自由積C*-代数に対しても成り立ち、この収束行動を示す広範な量子系のクラスを示している。
• 古典的力学においては、同様の収束条件が成り立つと、系は1点からなる系に同相である必要があり、非自明な一意的混合性を持つ古典的系はこれを受け入れない。
• $|q|<1$ の $q$-交換関係に対しては、関連するC*-代数におけるシフトも強い混合性を満たす。 これは、一意な不変状態が忠実でない場合でも成り立つ。
• フォック真空状態に付随するGNS表現は、$q$-変形生成子の自己共役部分に対して忠実であるため、非忠実な状態であっても物理的意味を持つ。
• $C^*_r(\mathbb{F}_\infty)$ 上の時間反転対称性 $\theta$ は混合性を保ち、$\alpha^{-1}$ も強い混合性条件を満たすことが示唆される。