[論文レビュー] On strong solutions of Itô's equations with a$\,\in W^{1}_{d}$ and b$\,\in L_{d}$

Н. В. Крылов|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一様非退化性のもとで、$W^{1}_{d,{ m loc}}$ に属する拡散係数と $L_d$ に属するドリフト係数をもつ多次元 Itô 型確率微分方程式に対して、強い解の存在と一意性を確立する。解は任意の指数 $<1$ に対して初期条件に関して Hölder 継続的であることが示され、Yamada-Watanabe や Zvonkin 型変換を回避する、新しい解析的基準を用いて係数近似における解の収束を証明する。

ABSTRACT

We consider Itô uniformly nondegenerate equations with time independent coefficients, the diffusion coefficient in $W^{1}_{d,loc}$, and the drift in $L_{d}$. We prove the unique strong solvability for any starting point and prove that as a function of the starting point the solutions are Hölder continuous with any exponent $&lt;1$. We also prove that if we are given a sequence of coefficients converging in an appropriate sense to the original ones, then the solutions of approximating equations converge to the solution of the original one.

研究の動機と目的

• 時間同次性をもつ Itô SDE に対して、$\sigma \in W^{1}_{d,{\rm loc}}$ および $b \in L_d$ のもとで強い解の存在と一意性を確立すること。
• 解が任意の指数 $<1$ に対して初期条件に関して Hölder 継続的であることを証明すること。
• 適切な位相における係数近似のもとで解の収束を示すこと。
• Yamada-Watanabe やノイズ変換技術に依存しない、強い解の存在を示すための新しい解析的手法を開発すること。

提案手法

• Krylov (2007) で初めて導入された、事前推定と遷移密度の正則性に基づく、強い解の存在を示すための解析的基準を用いる。
• 解の初期データに関する微分の事前推定を、導関数過程 $\xi_t(x,\eta)$ を用いて行う。
• 解のパスが初期条件に関して Hölder 継続的であることを示すために、Kolmogorov の連続性定理のバージョンを適用する。
• 解のモーメントおよび微分の成長を制御するために、$\sigma$ の勾配の $L_d$-ノルムと $b$ の $L_d$-ノルムを用いる。
• Fatou の補題と滑らかな係数による近似を用いて、滑らかな場合の結果を一般の $W^{1}_d \times L_d$ の設定に拡張する。
• [11] のモーメント推定と Itô 確率過程の最大不等式のバージョンを用いて、$\sup$-ノルムにおける収束を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数 $\sigma$ と $b$ がどのような条件下で SDE (1.1) が一意な強い解をもつか？
• RQ2 $\sigma \in W^{1}_d$ かつ $b \in L_d$ のとき、解の初期条件に関する Hölder 継続性は確立可能か？
• RQ3 $L_d$ で係数列 $\sigma^{k}(n) \to \sigma^k$ および $b(n) \to b$ と収束するとき、対応する解 $x_t(n,x(n))$ は $\sup$-ノルムで収束するか？
• RQ4 Yamada-Watanabe 定理や Zvonkin 型変換に依存せずに、強い可解性を証明できるか？

主な発見

• 一様非退化性のもとで、$\sigma \in W^{1}_{d,{\rm loc}}$ および $b \in L_d$ のもとで、任意の初期点 $x_0 \in \mathbb{R}^d$ に対して SDE (1.1) は一意な強い解をもつ。
• 解は任意の指数 $\alpha < 1$ に対して初期条件に関して Hölder 継続的である。
• $\kappa > 2d$ のとき、差 $|x_t(x) - x_t(y)|$ の $\kappa$-次のモーメントは $N|x-y|^{\kappa - 2d}$ で有界であり、Hölder 継続性を示唆する。
• 係数列 $\sigma^{k}(n) \to \sigma^k$ および $b(n) \to b$ が $L_d$ で収束するならば、解 $x_t(n,x(n))$ は $L^1$-sup ノルムで $x_t$ に収束する。
• 収束速度は $\rho$ が大きいとき指数的であり、$\mathbb{P}(|x_t(x)| \geq \rho) \leq Ne^{-\mu \rho^2}$ が成り立つ。
• 本手法は Yamada-Watanabe や Zvonkin 型のアプローチを回避し、代わりに新しい解析的基準とモーメント推定に依存する。