[論文レビュー] On sums involving products of three binomial coefficients

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2010

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ひとこと要約

本稿は、$p^2$ を法として三重二項係数の積を含む和について新しい合同式を確立する。特に $\binom{2k}{k}^3$、$\binom{2k}{k}^2\binom{2k}{k+d}$、および関連する超幾何型和について。Zeilbergerのアルゴリズムと多項式再帰技術を用いて、$p$ に関する特定の偶奇性および算術的条件の下で、こうした和が $p^2$ を法として消えることを証明し、素数を二乗和や他の二次形式として表すことに接続する。Sun や Rodriguez-Villegas の以前の予想を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we mainly employ the Zeilberger algorithm to study congruences for sums of terms involving products of three binomial coefficients. Let $p>3$ be a prime. We prove that $$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2\binom{2k}{k+d}}{64^k}\equiv 0\pmod{p^2}$$ for all $d\in\{0,\ldots,p-1\}$ with $d\equiv (p+1)/2\pmod2$. If $p\equiv 1\pmod4$ and $p=x^2+y^2$ with $x\equiv 1\pmod4$ and $y\equiv 0\pmod2$, then we show $$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2\binom{2k}{k+1}}{(-8)^k}\equiv 2p-2x^2\pmod{p^2}\ \ \mbox{and}\ \ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k\binom{2k}{k+1}^2}{(-8)^k}\equiv-2p\pmod{p^2}$$ by means of determining $x$ mod $p^2$ via $$(-1)^{(p-1)/4}\,x\equiv\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{k+1}{8^k}\binom{2k}k^2\equiv\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{2k+1}{(-16)^k}\binom{2k}k^2\pmod{p^2}.$$ We also solve the remaining open cases of Rodriguez-Villegas' conjectural congruences on $$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2\binom{3k}k}{108^k},\ \ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2\binom{4k}{2k}}{256^k}, \ \ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}{k}\binom{3k}k\binom{6k}{3k}}{12^{3k}}$$ modulo $p^2$.

研究の動機と目的

• 特定の $m$ に対して、$\sum_{k=0}^{p-1} \binom{2k}{k}^3 / m^k \mod p^2$ の形の和に関する予想を証明・拡張すること。
• 特に $p$ が奇素数であるとき、三つの二項係数の積を含む和について、$p^2$ を法とした合同式を確立すること。
• Legendre記号や二次形式を通じて、これらの和を素数の算術的性質（たとえば $p = x^2 + y^2$ や $p = x^2 + 2y^2$）と結びつけること。
• 超幾何型超合同式に $\eta$-モジュラー形式を含む Rodriguez-Villegas 型の予想を検証・拡張すること。
• Zeilbergerのアルゴリズムと再帰関係を用いて、主な合同式の背後にある多項式恒等式を導出し、検証すること。

提案手法

• 終結する超幾何和に $\binom{n}{k}^3$ を含む場合に、Zeilbergerのアルゴリズムを適用し、第二階線形再帰関係を導出し、モジュラー解析を可能にする。
• 生成多項式 $f_n(x)$ と $D_n(x)$ の間の鍵となる恒等式 $f_n(x(x+1)) = D_n(x)^2$ を用いる。ここで $f_n(x)$ と $D_n(x)$ は、Delannoy 数および Schar"oder 数に関連する生成多項式である。
• $p$-進展開と $p^2$ を法とした二項係数の恒等式を用いる。特に $n = (p-1)/2$ のとき $\binom{n+k}{2k} \equiv \frac{\binom{2k}{k}}{(-16)^k} \mod p^2$ が成り立つ。
• 既知の合同式 $\binom{(p-1)/2}{k}^3 \equiv \binom{2k}{k}^3 / (-64)^k \mod p$ を用い、和を既知の形に還元する。
• $p \equiv 1 \mod 4$ かつ $p = x^2 + y^2$ のとき、Gauss の合同式 $\binom{(p-1)/2}{(p-1)/4} \equiv 2x \mod p$ を用いて、重要な和を $p$ を法として評価する。
• $(3d+1)(3d+2)f(d) \equiv (3d+4)(3d+5)f(d+2) \mod p^2$ のような再帰的降下による合同式を用い、高次の $d$ での消滅結果を低次の $d$ へ伝搬する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $d \equiv (p+1)/2 \mod 2$ のとき、$\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2 \binom{2k}{k+d}}{64^k} \equiv 0 \mod p^2$ が成り立つ条件は何か？
• RQ2 $p \equiv 3 \mod 4$ のとき、和 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2 \binom{2k}{k+1}}{64^k}$ は $x$ と $p$ で表せるか？
• RQ3 $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{k+1}{8^k} \binom{2k}{k}^2$ と $\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{2k+1}{(-16)^k} \binom{2k}{k}^2$ の和は、$p = x^2 + y^2$ の表現とどのように関係するか？
• RQ4 $p \equiv 1 \mod 4$ のとき、$\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2 \binom{2k}{k+1}}{(-8)^k}$ の $p^2$-合同式は何か？
• RQ5 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k}}{108^k}$ と $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2 \binom{4k}{2k}}{256^k}$ の和は、Rodriguez-Villegas が予測した $p^2$-合同式と一致するか？

主な発見

• $p \equiv 3 \mod 4$ のとき、$\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2 \binom{2k}{k+1}}{64^k} \equiv (2p + 2 - 2^{p-1}) \binom{(p-1)/2}{(p+1)/4}^2 \mod p^2$ が成り立ち、$p \equiv 3 \mod 4$ のとき二項係数が $p$ を法として消える。
• $p \equiv 1 \mod 4$ かつ $p = x^2 + y^2$ で $x \equiv 1 \mod 4$ のとき、$(-1)^{(p-1)/4} x \equiv \sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{k+1}{8^k} \binom{2k}{k}^2 \mod p^2$ が成り立ち、和が直接 $x$ に関連する。
• $p \equiv 1 \mod 4$ のとき、$\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \frac{\binom{2k}{k} C_k}{8^k} \equiv -2 \sum_{k=0}^{p-1} \frac{k \binom{2k}{k}^2}{8^k} \equiv (-1)^{(p-1)/4} \left(2x - \frac{p}{x}\right) \mod p^2$ が成り立ち、$x$ の算術的性質と深い関係があることが示される。
• $p \equiv 1 \mod 4$ かつ $p = x^2 + y^2$、$x \equiv 1 \mod 4$ のとき、$\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2 \binom{2k}{k+1}}{(-8)^k} \equiv 2p - 2x^2 \mod p^2$ が成り立ち、予想が確認される。
• $p \equiv 3 \mod 8$ かつ $p = x^2 + 2y^2$ のとき、$\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^3}{(-64)^k} \equiv \left(\frac{-1}{p}\right)(4x^2 - 2p) \mod p$ が成り立ち、既知の恒等式を用いて $p^2$-合同式に拡張される。
• $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k} \binom{3k}{k} \binom{6k}{3k}}{12^{3k}} \equiv \left(\frac{12}{p}\right) \binom{(p-1)/2}{(p-1)/4}^2 \mod p$ が成り立ち、Gauss の合同式と組み合わせることで、$p \equiv 5 \mod 12$ のとき Rodriguez-Villegas の予想の $p^2$-形が得られる。