[論文レビュー] On super Catalan polynomials

Emily Allen, Irina Gheorghiciuc|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、超カタラン数の $ q $-アナログ $ S_q(m,n) = \frac{[2m]!_q[2n]!_q}{[m]!_q[n]!_q[m+n]!_q} $ を導入し、古典的超カタラン数および F"urlinger-Hofbauer の $ q $-カタラン数を一般化する。主な貢献は、特定のボールトパスのクラスにおける符号付きマジョリティンデックス生成関数を用いた $ T_q(2,n) = S_q(2,n)/(1+q^n) $ の組合せ的解釈であり、ユニモダリティおよび超カタラン再帰の $ q $-アナログの確立を含む。

ABSTRACT

We present a $q$-analog of the super Catalan number $(2m)!(2n)!/2m!n!(m+n)!$, which also generalizes the $q$-Catalan numbers $c_n(λ)$, due to Fürlinger and Hofbauer, for $λ=0$ and $λ=1$. We give a combinatorial interpretation for this analog when $m=2$.

研究の動機と目的

• カタラン数の $ q $-アナログを、超カタラン数を一般化するより広い多項式のクラスへ拡張すること。
• 定義 $ S_q(2,n)/(1+q^n) $ による $ q $-アナログ $ T_q(2,n) $ の組合せ的解釈を提供すること。
• 超カタラン再帰 $ 4T(m,n) = T(m+1,n) + T(m,n+1) $ の $ q $-アナログを確立すること。
• $ S_q(m,n) $ が非負整数係数の多項式であることの証明と、ユニモダリティの調査。

提案手法

• $ q $-階乗および $ q $-二項係数を用いて $ S_q(m,n) $ の $ q $-アナログを定義する。
• $ \mathcal{B}(n,r) $ に属するパスの上での生成関数として $ q $-ボールト数 $ B_q(n,r) $ を定義し、符号付きマジョリティンデックス統計を導入する。
• 高さが $ 2r-1 $ より大きいパスと $ \mathfrak{S}(n+r,n-r-1) $ に属するパスとの間の双対写像 $ \psi $ を構成し、マジョリティンデックスを保存する。
• ボールトパスの部分集合 $ \mathcal{B}^{**}(n,2) $ からドゥークパスの集合 $ \mathcal{C}_n \setminus \Omega_n $ への写像 $ g $ を定義し、$ \operatorname{maj} - \operatorname{des} $ の差をシフトまで保存する。
• 双対写像 $ g $ を用いて $ B_q(n,1) $ と $ B_q^*(n,2) $ を関連付け、恒等式 $ q^2 B_q(n,1) - B_q^*(n,2) = q^2 \sum_{\pi \in \Omega_n} q^{\operatorname{maj}(\pi) - \operatorname{des}(\pi)} $ を得る。
• $ q $-アナログの超カタラン再帰を活用し、$ T_q(m,n) $ を含む恒等式を導出する。特に $ (1+q^n)(1+q^{n-m})T_q(m,n) = q^{n-m}T_q(n,m+1) + T_q(m,n+1) $ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的超カタラン数および F"urlinger-Hofbauer の $ q $-カタラン数を両方一般化する、超カタラン数の $ q $-アナログを構成可能か？
• RQ2 符号付きマジョリティンデックス統計を用いた格子パスの観点から、$ T_q(2,n) = S_q(2,n)/(1+q^n) $ の組合せ的解釈は存在するか？
• RQ3 $ q $-アナログ $ S_q(m,n) $ は、超カタラン再帰 $ 4T(m,n) = T(m+1,n) + T(m,n+1) $ の $ q $-アナログを満たすか？
• RQ4 組合せ的手段を用いて $ S_q(m,n) $ のユニモダリティを確立可能か？
• RQ5 $ T_q(2,n) $ の生成関数と、高さ制限および降下構造を制限したドゥークパスの集合との正確な関係は何か？

主な発見

• $ S_q(m,n) $ は、Warnaar と Zudilin によって示され、組合せ的構成によって確認された非負整数係数の多項式である。
• 多項式 $ T_q(2,n) = S_q(2,n)/(1+q^n) $ は、$ \mathcal{B}^{**}(n,2) $ と呼ばれる特定のボールトパスのクラスに対して、$ \sum_{\pi \in \mathcal{B}^{**}(n,2)} q^{\operatorname{maj}(\pi) - \operatorname{des}(\pi)} $ として組合せ的解釈が可能である。
• 写像 $ g $ は $ \mathcal{B}^{**}(n,2) $ と $ \mathcal{C}_n \setminus \Omega_n $ の間の双対写像であり、$ \operatorname{maj}(\pi) - \operatorname{des}(\pi) = \operatorname{maj}(g(\pi)) - \operatorname{des}(g(\pi)) + 2 $ を満たす。これにより、恒等式 $ q^2 B_q(n,1) - B_q^*(n,2) = q^2 \sum_{\pi \in \Omega_n} q^{\operatorname{maj}(\pi) - \operatorname{des}(\pi)} $ が得られる。
• 超カタラン再帰の $ q $-アナログが成立する：$ (1+q^n)(1+q^{n-m})T_q(m,n) = q^{n-m}T_q(n,m+1) + T_q(m,n+1) $ であり、これは古典的恒等式を一般化する。
• $ m=1 $ の場合、$ T_q(1,n) = \sum_{\pi \in \mathcal{C}_n} q^{\operatorname{maj}(\pi) - \operatorname{des}(\pi)} $ であり、F"urlinger-Hofbauer の $ q $-カタラン数 $ c_n(0) $ と一致する。また $ T_q(n,1) = \sum_{\pi \in \mathcal{C}_n} q^{\operatorname{maj}(\pi)} = c_n(1) $ である。
• 構成により、$ T_q(2,n) $ が非負整数係数の多項式であることが確認され、$ S_q(m,n) $ のユニモダリティの証明に向けた一歩が得られた。