[論文レビュー] On superlinear Fractional p-Laplacian in R^n

César E. Torres Ledesma|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2014

Nonlinear Differential Equations Analysis被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、p ≥ 2 および 0 < s < 1 である R^n 上の分数階 p-ラプラシアン方程式に対して、臨界的でない p-超線形非線形項を有する非自明解の存在を検討する。Cerami 条件の下でマウンテン・パス定理を適用することにより、ポテンシャル V(x) および非線形項 f(x,u) に適切な仮定を置くと、少なくとも1つの非自明な弱解の存在が確立される。

ABSTRACT

In this article we are interested in the following fractional $p$-Laplacian equation in $\mathbb{R}^n$ $(-\Delta)_{p}^{\alpha}u$ + $V(x)u^{p-2}u = f(x,u) {in} \mathbb{R}^{n}$ where $p\geq 2$, $0< s < 1$, $n\geq 2$ and subcritical p-superlinear nonlinearity. By using mountain pass theorem with Cerami condition and existence result is obtained.

研究の動機と目的

• R^n 上の分数階 p-ラプラシアン方程式に対して、臨界的でない p-超線形非線形項を有する非自明解の存在を研究すること。
• ポテンシャル V(x) および非線形項 f(x,u) の影響を受ける解の挙動を分析すること。
• 適切な成長および正則性条件の下で変分法を用いて解の存在結果を確立すること。
• 分数階 p-ラプラシアン作用素に超線形成長を有する場合に、マウンテン・パス定理の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• s ∈ (0,1) および p ≥ 2 を満たす非局所作用素 (−Δ)p^s を用いて分数階 p-ラプラシアン方程式を定式化すること。
• 適切なソボレフ型空間において方程式に関連するエネルギー汎関数を定義し、その汎関数が適切に定義され、連続的に微分可能であることを保証すること。
• Cerami 条件の下でエネルギー汎関数にマウンテン・パス定理を適用し、臨界点の存在を保証すること。
• f(x,u) および V(x) に対する与えられた仮定の下で、Cerami 条件が成り立つことを検証し、有界な Palais-Smale 列の存在を保証すること。
• f(x,u) の臨界的でないおよび p-超線形の成長性を用いて、マウンテン・パス定理が要請する幾何的条件が満たされることを保証すること。
• 連結構造およびコンパクト性の議論を用いて、少なくとも1つの非自明な弱解の存在を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階 p-ラプラシアン方程式がポテンシャル V(x) および p-超線形非線形項 f(x,u) を有する場合、R^n 上で非自明な弱解をもつための条件は何か？
• RQ2 非局所作用素 (−Δ)p^s とポテンシャル V(x) の相互作用は、解の存在にどのように影響するか？
• RQ3 Cerami 条件の下で、このクラスの分数階 p-ラプラシアン問題にマウンテン・パス定理を効果的に適用できるか？
• RQ4 臨界的でない領域において、非自明解の存在を保証するための f(x,u) の成長および正則性仮定は何か？
• RQ5 p ≥ 2 のとき、パラメータ s ∈ (0,1) は方程式の可解性にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 本稿では、与えられた条件下で R^n 上の分数階 p-ラプラシアン方程式に対して、少なくとも1つの非自明な弱解の存在が確立される。
• 解はマウンテン・パス定理を用いて得られ、これにより関連するエネルギー汎関数の臨界点が保証される。
• エネルギー汎関数に対して Cerami 条件が検証され、有界な Palais-Smale 列の存在が保証される。
• 非線形項 f(x,u) は臨界的でなく、p-超線形であると仮定されており、これはマウンテン・パスの幾何的条件を満たすために不可欠である。
• ポテンシャル V(x) は可測かつ下から有界であると仮定されており、汎関数が適切に定義され、一部で強制的であることを保証する。
• 結果はすべての n ≥ 2、p ≥ 2、s ∈ (0,1) に対して成り立ち、このクラスの非局所方程式に対する変分法の適用範囲が拡張される。