[論文レビュー] On Symmetric Gauss-Seidel ADMM Algorithm for $\mathcal{H}_\infty$ Guaranteed Cost Control with Convex Parameterization

Jun Ma, Zilong Cheng+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2020

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 53被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、パrametric不確実性下での$χ_\infty$保証コスト制御問題を解くために、対称ガウス・ザイデルADMMアルゴリズムを提案する。凸パrameterizationとシュール補行列の再定式化を活用することで、問題を凸最適化問題に変換し、強力な収束保証と高いロバスト性能を備えた大規模計算が可能になる。

ABSTRACT

This paper involves the innovative development of a symmetric Gauss-Seidel ADMM algorithm to solve the H-infinity guaranteed cost control problem. In the presence of parametric uncertainties, the H-infinity guaranteed cost control problem generally leads to the large-scale optimization. This is due to the exponential growth of the number of the extreme systems involved with respect to the number of parametric uncertainties. In this work, through a variant of the Youla-Kucera parameterization, the stabilizing controllers are parameterized in a convex set; yielding the outcome that the H-infinity guaranteed cost control problem is converted to a convex optimization problem. Based on an appropriate re-formulation using the Schur complement, it then renders possible the use of the ADMM algorithm with symmetric Gauss-Seidel backward and forward sweeps. Significantly, this approach alleviates the often-times prohibitively heavy computational burden typical in many H-infinity optimization problems while exhibiting good convergence guarantees, which is particularly essential for the related large-scale optimization procedures involved. With this approach, the desired robust stability is ensured, and the disturbance attenuation is maintained at the minimum level in the presence of parametric uncertainties. Rather importantly too, with the attained effectiveness, the methodology thus evidently possesses extensive applicability in various important controller synthesis problems, such as decentralized control, sparse control, and output feedback control problems.

研究の動機と目的

• パrametric不確実性を有するシステムにおける$χ_\infty$保証コスト制御の高い計算負荷を軽減すること。
• 大規模最適化においてリッカティベースの手法や非線形ソルバーの限界を克服すること。
• 不確実性下でのロバストコントローラー合成に適した数値的に安定でスケーラブルなアルゴリズムの開発。
• 凸パrameterizationを通じて、分散型・スパース・出力フィードバック制御問題への応用を可能にすること。
• すべての極端系において最小の撹乱減衰を維持しながら、ロバスト安定性を確保すること。

提案手法

• 安定化コントローラーを凸集合に表現できるヨウラ・クツェラ変種のパrameterizationを用いる。
• シュール補行列を用いた再定式化により、双線形行列不等式を凸制約に変換することで$χ_\infty$制御問題を再定式化する。
• 収束性を向上させるために、交互に前向きと後向きのスweepを実行する対称ガウス・ザイデルADMMアルゴリズムを適用する。
• 大規模最適化問題を、ADMMイテレーション毎に明示的に解ける小さな部分問題に分解する。
• 非線形制約の外挙動近似にカットティングプレーン法を採用し、反復的に実行可能領域を改善する。
• GurobiやSCSのような計算的に高コストなソルバーに依存しないADMMフレームワークを統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称ガウス・ザイデルADMMフレームワークは、パrametric不確実性を有する大規模$χ_\infty$保証コスト制御問題を効果的に解くことができるか？
• RQ2 ヨウラ・クツェラ変種による凸パrameterizationは、数値的安定性と計算実行可能性をどのように向上させるか？
• RQ3 ADMMベースのアプローチは、従来のリッカティ法やカットティングプレーン法と比較して、計算負荷をどの程度低減できるか？
• RQ4 本手法は、不確実領域内のすべての極端系においてロバスト安定性と最小撹乱減衰を確保できるか？
• RQ5 パrametric不確実性下で、提案されたコントローラーは標準LQRと比較してどの程度優れた性能を示すか？

主な発見

• 提案された対称ガウス・ザイデルADMMアルゴリズムは、強力な収束保証を備え、大規模$χ_\infty$制御問題における計算コストを顕著に低減する。
• 凸パrameterizationの活用により、すべての安定化コントローラーが凸集合内に表現され、効率的な最適化が可能になる。
• アルゴリズムは、すべての極端系における$χ_\infty$性能の上界を効果的に最小化し、最小撹乱減衰レベルを達成する。
• 例2のシミュレーション結果では、提案コントローラー（破線）がLQRベンチマーク（実線）に比べて、特にパrametric不確実性下でも優れたシステム応答を示す。
• 双対ギャップは反復回数に応じて滑らかに減少し、ADMMベースの解法の収束性と数値的信頼性を裏付ける。
• 凸かつ構造化された定式化のため、本手法は分散型・スパース・出力フィードバック制御問題など、より広範な制御問題に応用可能である。