[論文レビュー] On tangent cones and parallel transport in Wasserstein space

John Lott|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなリーマン多様体 M の部分多様体 S 上にあり、絶対連続な測度 μ を持つ Wasserstein 空間 P(M) の接錐を計算する。本稿は、P(M) 内の測地線に沿った接錐の平行移動の幾何的構成を導入し、滑らかさの条件が成立する際、先行する形式的計算と一致することを示す。

ABSTRACT

If M is a smooth compact Riemannian manifold, let P(M) denote the Wasserstein space of probability measures on M. If S is an embedded submanifold of M, and mu is an absolutely continuous measure on S, we compute the tangent cone of P(M) at mu. We describe a geometric construction of parallel transport of tangent cones along certain geodesics in P(M). We show that when everything is smooth, the geometric parallel transport agrees with earlier formal calculations.

研究の動機と目的

• M の部分多様体 S 上に台を持つ測度 μ における Wasserstein 空間 P(M) の接錐を特徴付けること。
• P(M) 内の測地線に沿った接錐の平行移動の幾何的構成を開発すること。
• 滑らかさの設定下で、幾何的構成と先行する形式的計算との一貫性を確立すること。
• 非滑らかな距離測度空間における幾何的構造の理解を拡張すること。

提案手法

• コンパクトなリーマン多様体 M 上の Wasserstein 空間 P(M) の構造を利用する。
• μ が埋め込まれた部分多様体 S 上で絶対連続である場合、μ ∈ P(M) における接錐を微分幾何的技法を用いて分析する。
• P(M) 内の測地線に沿ったベクトル場の幾何的リフトを用いて平行移動を構成する。
• 滑らかな場合に接ベクトルを最適輸送写像と同一視することに依存する。
• 幾何的構成を先行研究からの形式的計算と比較する。
• 滑らかさの仮定下で、内在的な幾何的議論を用いて等価性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 M の部分多様体 S 上に台を持つ測度 μ における Wasserstein 空間 P(M) の接錐の構造は何か？
• RQ2 Wasserstein 空間 P(M) において、接錐の平行移動をどのように幾何的に定義できるか？
• RQ3 提案された平行移動の幾何的構成は、滑らかな設定下で先行する形式的計算と一致するか？
• RQ4 M のリーマン構造は、P(M) 内の接錐の幾何にどのように寄与するか？

主な発見

• P(M) の μ における接錐は、μ に関して L² 可積分な S 上のベクトル場の空間として特徴付けられる。
• P(M) 内の滑らかな移動補間によって誘導される測地線に沿って、幾何的平行移動の構成が適切に定義される。
• すべての構造が滑らかである場合、幾何的平行移動の構成は、文献からの形式的計算と一致する。
• 構成は、最適輸送幾何と M 上のリーマン構造との自然な整合性を示している。
• 幾何的リフトを用いることで、P(M) 内の非滑らか点に対しても接錐および平行移動の概念の適用が拡張される。
• この枠組みは、滑らかでない場合の Wasserstein 空間における微分積分学の厳密な基盤を提供する。