[論文レビュー] Hölder continuity of tangent cones in RCD(K,N) spaces and applications to non-branching

Qin Deng|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 45被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、RCD(K,N)空間における測地線に沿って接錐の Hölder 継続性を確立し、任意の内部測地線に沿って中心をとる小さな球の幾何が、指標付き Gromov-Hausdorff 距離の下で Hölder 継続的であることを証明する。この結果により、RCD(K,N)空間は非分岐的であり、正則集合は m-ほとんど everywhere で次元が一定で、m-ほとんど everywhere 凸であることが示され、特に最高次元の正則集合は弱凸的であり、したがって連結である。

ABSTRACT

In this paper we prove that a metric measure space $(X,d,m)$ satisfying the finite Riemannian curvature-dimension condition ${\sf RCD}(K,N)$ is non-branching and that tangent cones from the same sequence of rescalings are Hölder continuous along the interior of every geodesic in $X$. More precisely, we show that the geometry of balls of small radius centred in the interior of any geodesic changes in at most a Hölder continuous way along the geodesic in pointed Gromov-Hausdorff distance. This improves a result in the Ricci limit setting by Colding-Naber where the existence of at least one geodesic with such properties between any two points is shown. As in the Ricci limit case, this implies that the regular set of an ${\sf RCD}(K,N)$ space has $m$-a.e. constant dimension, a result already established by Bruè-Semola, and is $m$-a.e convex. It also implies that the top dimension regular set is weakly convex and, therefore, connected. In proving the main theorems, we develop in the ${\sf RCD}(K,N)$ setting the expected second order interpolation formula for the distance function along the Regular Lagrangian flow of some vector field using its covariant derivative.

研究の動機と目的

• RCD(K,N)空間における測地線に沿った小さな球の幾何が Hölder 継続的であることを確立すること。
• RCD(K,N)空間が非分岐的であることを証明し、リッチ極限理論における長年の未解決問題を解決すること。
• Colding-Naber のリッチ極限空間に関する結果を、RCD(K,N)フレームワークの全範囲に一般化すること。
• RCD(K,N)空間における正則集合が m-ほとんど everywhere で次元が一定であり、かつ m-ほとんど everywhere 凸であることの証明。
• 最高次元の正則集合が弱凸的であり、したがって連結であることを確立すること。

提案手法

• ベクトル場の正則ラグランジュ的流れに沿った距離関数の2次補間公式を、その共変微分を用いて開発すること。
• RCD(K,N)設定における距離関数と過剰関数を制御するために、熱流近似を用いること。
• 外部極限測地線法の改良として、内在的構成により任意の2点間の測地線を構成し、小さな球の幾何の Hölder 継続性を満たすこと。
• Arzelà-Ascoli の定理を適用して、スケーリングされた測度付き距離空間の収束部分列を抽出し、接錐を定義すること。
• 背理法を用いて非分岐性を証明し、任意の分岐が測地線に沿った幾何の Hölder 継続性を破ることを示すこと。
• Fubini 型の議論と線分不等式を用いて、ほとんどすべての測地線に沿って正則集合の次元が m-ほとんど everywhere で一定であることを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 RCD(K,N)空間における測地線に沿って中心をとる小さな球の幾何は、指標付き Gromov-Hausdorff 距離の下で Hölder 継続的であるか？
• RQ2 RCD(K,N)空間は非分岐的であり、接錐の正則性によってこの性質を示せるか？
• RQ3 RCD(K,N)空間における正則集合は、リッチ極限の場合と同様に m-ほとんど everywhere で次元が一定であるか？
• RQ4 正則集合は m-ほとんど everywhere 凸であり、最高次元の正則集合は弱凸的かつ連結であるか？
• RQ5 RCD(K,N)空間における2次微積分は、流れに沿った距離関数の補間公式を導出するために用いられるか？

主な発見

• 任意の内部測地線に沿って、RCD(K,N)空間における小さな球の幾何は Hölder 継続的である：$ d_{pGH}\big((B_r(\nu(s)), \nu(s)), (B_r(\nu(t)), \nu(t))\big) < \frac{C K'}{\nu \ell'} r |s-t|^\alpha $ で、$ r < r_0 \frac{\delta \ell'}{K'} $ のとき、$ \alpha(N) > 0 $。
• 同じスケーリング列から得られる接錐は Hölder 継続的である：すべての $ r > 0 $ に対して $ d_{pGH}((B_r(y_s), y_s), (B_r(y_t), y_t)) < \frac{C K'}{\delta \ell'} r |s-t|^\alpha $。
• RCD(K,N)空間は非分岐的であり、リッチ極限理論における重要な未解決問題が解決された。
• 正則集合 $ \mathcal{R}_n $ は $ m $-ほとんど everywhere で次元 $ n \in \mathbb{N} $ が一定であり、$ 1 \leq n \leq N $、かつ $ m(X \setminus \mathcal{R}_n) = 0 $。
• 正則集合 $ \mathcal{R}_n $ は $ m $-ほとんど everywhere 凸的であり、弱凸的であるため、連結である。
• 最高次元の正則集合は弱凸的であり、したがって連結である。これはリッチ極限設定における結果を拡張する。