[論文レビュー] On the 1+3 Formalism in General Relativity

Xavier Le Roy|arXiv (Cornell University)|May 24, 2014

Advanced Differential Geometry Research参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論における包括的な1+3形式主義を提示する。この形式主義は時空を時間的曲線の族に沿って分割し、渦度が空間フレームが超曲面を形成できない状況でさえも、空間フレームにおけるガウス、コーディツィ、リッチ方程式を導出する。形式主義により、アインシュタイン場方程式と同等の完全な制約方程式および発展方程式が得られ、任意のベクトル基底における明示的表現を備え、幾何学的に一貫した枠組みを提供する。これは、先行する1+3アプローチを一般化し、3+1形式主義との直接的な対応関係を確立する。

ABSTRACT

We present in this paper the formalism for the splitting of a four-dimensional Lorentzian manifold by a set of time-like integral curves. Introducing the geometrical tensors characterizing the local spatial frames induced by the congruence (namely, the spatial metric tensor, the extrinsic curvature tensor and the Riemann curvature tensor), we derive the Gauss, Codazzi and Ricci equations, along with the evolution equation for the spatial metric. In the present framework, the spatial frames do not form any hypersurfaces as we allow the congruence to exhibit vorticity. The splitting procedure is then applied to the Einstein field equation and it results in an equivalent set of constraint and evolution equations. We discuss the resulting systems and compare them with the ones obtained from the 3+1 formalism, where the manifold is foliated by means of a family of three-dimensional space-like surfaces.

研究の動機と目的

• 時空を時間的積分曲線の族に沿って分割する幾何学的に一貫した1+3形式主義を構築すること。特に、渦度が空間フレームが超曲面を形成できない状況であっても可能であるようにする。
• 空間幾何に沿ったガウス、コーディツィ、リッチ方程式を、空間計量の発展方程式を含めて導出すること。
• アインシュタイン場方程式を、3+1形式主義に類似したが、スレーディングの視点に適応した1+3制約方程式および発展方程式のセットに再定式化すること。
• 任意の4次元ベクトル基底およびその双対基底における一般形式を提供することにより、従来の研究が適応基底に限定されていた制限を克服すること。
• 同じ幾何的および力学的量を一貫した基底に依存しない方法で表現することにより、1+3形式主義と3+1形式主義との間の正式な対応関係を確立すること。

提案手法

• 形式主義は、時間的曲線族を導入し、その直交する空間フレームに対して空間計量、外的曲率、リーマン曲率テンソルを定義することで構築される。
• ガウス、コーディツィ、リッチ方程式は、リーマン曲率テンソルの分解を用いて導出され、空間曲率テンソルおよび外的曲率テンソルは、空間フレームへの射影作用素を介して定義される。
• 空間計量の発展方程式は、時間的ベクトル場に沿ったリー微分を用いて導出され、正規化条件および計量適合性条件が用いられる。
• アインシュタイン場方程式は、曲線の接ベクトルおよび法ベクトルを用いて、4次元リーマンテンソルおよびリッチテンソルを空間的および時間的成分に射影することで1+3成分に分解される。
• 形式主義は、時間座標$t$および空間座標$X^i$に適合した座標系を用い、テンソル成分を表現するための双対1形式基底$\{dt, dX^i\}$を定義する。
• 導出は一般のベクトル基底で行われ、座標選択に依存しない式が保証され、結果は標準的な3+1形式主義と比較される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロの渦度を持つ一般の時間的曲線族に対して、1+3形式主義を体系的に導出する方法は何か。特に、空間フレームが超曲面を形成しない状況でも可能であるか。
• RQ2 任意の4次元ベクトル基底で表現された1+3形式主義におけるガウス、コーディツィ、リッチ方程式の明示的形は何か。
• RQ3 アインシュタイン場方程式から導出された1+3制約方程式および発展方程式は、3+1形式主義のそれらと構造的および幾何的側面においてどのように比較できるか。
• RQ4 シフト1形式およびその成分が時間的曲線族の渦度を決定する役割を果たすメカニズムは何か。この関係はテンソル方程式にどのように反映されるか。
• RQ5 完全に幾何学的である1+3形式主義を構築可能か。その際、3+1形式主義と完全に同等でありつつ、流体の物理量（拡張、せん断、渦度）の運動論的解釈を保持できるか。

主な発見

• 一般のベクトル基底における1+3形式主義に対して、ガウス、コーディツィ、リッチ方程式が導出され、曲線族の渦度が非ゼロであっても空間幾何の記述が可能になる。
• 空間計量の発展方程式は$ \frac{1}{M} \mathcal{L}_{\bm{m}} \gamma_{ij} = K_{ij} $として表され、ここで$ \bm{m} = M\bm{u} $である。これは、曲線に沿った空間幾何の時間的発展を示している。
• 加速度成分は$ a_i = \frac{D_i M}{M} + \mathcal{L}_{\bm{m}} M_i $として与えられ、流体の加速度がシフト1形式のリー微分および計量の時間微分と明示的に関連している。
• 渦度成分は$ \omega_{ij} = M(M_{[i}M_{j],t} - M_{[i,j]}) $として表現され、シフト1形式が消えると渦度も消えることが示される。
• 4次元リーマンテンソルの1+3分解により、アインシュタイン場方程式と同等の制約方程式および発展方程式のセットが得られ、超曲面を形成しない空間フレームに起因する追加項が生じる。
• 同じ幾何的および力学的量を基底に依存しない方法で表現することにより、1+3形式主義と3+1形式主義との間の直接的な対応関係が確立され、従来の研究が適応基底に限定されていた制限を克服する。