[論文レビュー] On the abundance of SRB measures

Yongluo Cao, Zeya Mi+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ホモクライン接線を示さない $C^1$ 微分同相写像において、ランダムな摂動とギブズ $cu$-状態の段階的解析を用いて、シナイ＝ルール＝ボーゲン（SRB）測度の豊富さを確立する。主な結果は、$\mathrm{Diff}^1(M)$ において、任意の微分同相写像が、SRB測度を持つもの、ホモクライン接線を持つもの、または本質的にモース＝スメール系に $C^1$ 近似可能であることを示しており、グローバル力学における物理的測度に関するパリスの予想を支持する。

ABSTRACT

We prove the abundance of Sinai-Ruelle-Bowen measures for diffeomorphisms away from ones with a homoclinic tangency. This is motivated by conjectures of Palis on the existence of physical (Sinai-Ruelle-Bowen) measures for global dynamics. The main novelty in this paper is that we have to deeply study Gibbs $cu$-states in different levels. Note that we have to use random perturbations to give some upper bound of the level of Gibbs $cu$-states.

研究の動機と目的

• 非可縮微分同相写像の多くが、リーマン測度の全測度を占める有限個の物理的（SRB）測度を持つというパリスの予想を支持すること。
• ホモクライン接線を示さない微分同相写像において、$C^1$ 位相で SRB 測度の豊富さを確立すること。
• 部分的双曲的力学における支配的分解の複数の段階において、ギブズ $cu$-状態の構造を分析すること。
• $C^2$ 微分同相写像において、1次元の支配的中心バンドルを持つ吸引集合に SRB 測度が存在することを証明すること。

提案手法

• ギブズ $cu$-状態のレベルを制御・上限評価するためにランダムな摂動を用い、不変測度の解析における上界推定を可能にする。
• 支配的分解における不変バンドルを段階的に細分化して分析することで、ギブズ $cu$-状態を段階的に研究するアプローチを適用する。
• 拡張された力学系と持ち上げられた測度を用いて、定常測度とその不安定多様体に沿った分解を研究する。
• リャプノフ指数の下界が一様に保証される正の密度の集合を抽出するために、プライスに類似した補題を用いる。
• foliation の絶対連続性と条件付き測度を用いて、不安定多様体に沿ってリーマン測度とギブズ測度を関連付ける。
• ペジンブロックと不安定多様体に準拠する可測分割の理論に依拠して、物理的測度を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモクライン接線を除く $C^1$ 微分同相写像の空間において、SRB 測度が稠密であることを示せるか？
• RQ2 支配的分解の複数の段階においてギブズ $cu$-状態をどのように分析すれば、SRB 測度の存在を保証できるか？
• RQ3 非一様双曲的系における不変測度の統計的性質を制御するために、ランダムな摂動はどの程度有効か？
• RQ4 1次元中心バンドルを持つ部分的双曲的吸引集合が、どのような条件下で SRB 測度を支持するか？
• RQ5 パリスの予想が示唆するように、$\mathrm{Diff}^1(M)$ において SRB 測度を持つ微分同相写像の集合は稠密か？

主な発見

• $\mathrm{Diff}^1(M)$ において、任意の微分同相写像は、ホモクライン接線を持つもの、本質的にモース＝スメール系であるもの、または SRB 測度を持つものに $C^1$ 近似可能である。
• ホモクライン接線を示さない限り、$\mathrm{Diff}^1(M)$ においてペジンのエントロピー公式を満たす測度を持つ微分同相写像の集合は稠密である。
• $C^2$ 微分同相写像で、部分的双曲的吸引集合と1次元中心バンドルを持つ場合、与えられた力学的条件下で SRB 測度が存在する。
• 不安定多様体に沿ったギブズ $cu$-状態の分解は、リーマン測度に関して絶対連続であり、物理的測度の構成を可能にする。
• ランダムな摂動の使用により、ギブズ $cu$-状態のレベルに対する上界が得られ、システムの統計的挙動の制御に不可欠である。
• 密度 $1 - \varepsilon$ の集合から、リャプノフ指数が一様に下から有界であるものを抽出できるプライスに類似した補題が確立され、正の測度エントロピーを持つ測度の存在を支持する。