[論文レビュー] Statistical stability of mostly expanding diffeomorphisms

Martin Andersson, Carlos H. Vásquez|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$r > 1$ における主に拡張する $C^r$ 微分同相写像のほとんどすべての状況において統計的安定性を確立し、軌道的である場合には物理的測度が力学系の変化とともに連続的に変化することを証明している。非軌道的状況では、物理的測度の数が上半連続的に変化することを示している。強い部分的双曲性で中心方向が主に拡張する状況下で、この結果を得るために、新しいプライス型補題と、ギブズ $cu$-状態の新しい特徴付けが鍵となる道具となっている。

ABSTRACT

We study how physical measures vary with the underlying dynamics in the open class of $C^r$, $r>1$, strong partially hyperbolic diffeomorphisms for which the central Lyapunov exponents of every Gibbs $u$-state is positive. If transitive, such a diffeomorphism has a unique physical measure that persists and varies continuously with the dynamics. A main ingredient in the proof is a new Pliss-like Lemma which, under the right circumstances, yields frequency of hyperbolic times close to one. Another novelty is the introduction of a new characterization of Gibbs $cu$-states. Both of these may be of independent interest. The non-transitive case is also treated: here the number of physical measures varies upper semi-continuously with the diffeomorphism, and physical measures vary continuously whenever possible.

研究の動機と目的

• $r > 1$ であるが、中心方向で主に拡張する強力な部分的双曲性を持つ広範な $C^r$ 微分同相写像のクラスにおける統計的安定性を確立すること。
• 力学系の小さな $C^r$ パーティクル変化の下で、物理的測度の数と構造がどのように変化するかを分析すること。
• 物理的測度の数が一定のまま保たれる場合、それらが弱*位相で連続的に変化することを証明すること。
• 特に、双曲的時間のためのプライス型補題と、ギブズ $cu$-状態の新しい特徴付けを含む、滑らかなエルゴディック理論において独立に価値のある新たな解析的道具を開発すること。

提案手法

• 適切な条件下で、双曲的時間の頻度が1に近づくことを保証する新しいプライス型補題を導入し、力学系における強い双曲性を保証する。
• 不安定な包絡線の構造と安定包絡線の絶対連続性を用いて、ギブズ $cu$-状態の新しい特徴付けを構築する。
• $r > 1$ における $C^r$ 位相での主に拡張する条件の開性を用いて、物理的測度の数が有界のまま保たれる近傍を構成する。
• ギブズ $u$-状態の理論と、吸引域とルベーグ測度の性質を通じて物理的測度との関係を応用する。
• 局所的不安定包絡線における体積成長と絶対連続性を用いて、背理法により物理的測度の数の上半連続性を確立する。
• 物理的測度が、凸結合における係数の置換行列を通じて、元の系の物理的測度に収束することを示すことにより、統計的安定性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 軌道的である場合、主に拡張する $C^r$ 微分同相写像の物理的測度は、小さな $C^r$ パーティクル変化の下でどのように変化するか？
• RQ2 非軌道的状況では、物理的測度の数が変化の下でどのように振る舞うか？
• RQ3 主に拡張する条件下で、双曲的時間の頻度を1に近づけることができるか？その結果、統計的安定性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 部分的双曲的系における物理的測度の研究に有用な、ギブズ $cu$-状態の新たな特徴付けは何か？
• RQ5 微分同相写像からその物理的測度への写像が、弱*位相で連続のままである条件は何か？

主な発見

• 軌道的で主に拡張する $C^r$ 微分同相写像（$r > 1$）に対して、一意な物理的測度が存在し、それが力学系とともに連続的に変化することが保証される。
• 非軌道的状況では、物理的測度の数が微分同相写像の変化とともに上半連続的に変化する。これは、測度の数が減少することは許されても、増加は許されないことを意味する。
• 物理的測度は、物理的測度の数が一定のまま保たれる変化の下で、弱*位相で連続的に変化する。
• 新しいプライス型補題が確立され、主に拡張する条件下では、双曲的時間の頻度を任意に1に近づけることができる。
• 不安定包絡線における吸引域の全葉積分量と安定包絡線の絶対連続性に基づく、ギブズ $cu$-状態の新しい特徴付けが導入された。
• 軌道的状況では、物理的測度は一意的であり、その吸引域はルベーグ測度の全測度を持つ。これは、主に拡張する条件の開性と軌道的性質から導かれる。