[論文レビュー] On the AKSZ formulation of the Poisson sigma model

Alberto S. Cattaneo, Giovanni Felder|ArXiv.org|Feb 14, 2001

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 9被引用数 36

ひとこと要約

本稿は、境界を持つ多様体上のポissonシグマ模型のバタリン＝ヴィルコビッチ（BV）作用とAKSZ形式主義の直接的な関係を確立し、先行研究で得られたBV作用が自然にAKSZ構成から導かれることを示している。古典的作用関数とそのゲージ固定された摂動的量子化——Kontsevichのスター積へと至る——が、境界条件および古典的・量子的レベルでの標的微分同相変換不変性を明示的に取り入れながらAKSZ法により再構成可能であることを示している。

ABSTRACT

We review and extend the Alexandrov-Kontsevich-Schwarz-Zaboronsky construction of solutions of the Batalin-Vilkovisky classical master equation. In particular, we study the case of sigma models on manifolds with boundary. We show that a special case of this construction yields the Batalin-Vilkovisky action functional of the Poisson sigma model on a disk. As we have shown in a previous paper, the perturbative quantization of this model is related to Kontsevich's deformation quantization of Poisson manifolds and to his formality theorem. We also discuss the action of diffeomorphisms of the target manifolds.

研究の動機と目的

• 境界を持つ多様体へのAKSZ構成の拡張、特にトポロジカルシグマ模型への適用を目的とする。
• 先行研究で摂動的経路積分によって得られた、ディスク上でのポアンソワ・シグマ模型のBV作用関数が、自然にAKSZ形式主義から導かれることを示す。
• AKSZフレームワークにおける境界条件の役割と、それによる得られるBV作用関数への影響を明確化する。
• 古典的および量子的レベルにおける標的微分同相変換に対する不変性を分析し、Kontsevichの公式との明らかな矛盾を解消する。

提案手法

• スーパーマニフォールド $Π T\Sigma$ 及びその積分測度 $μ$ を用いて、BVマスター方程式のAKSZ解を構成する。
• 標的空間 $Π T^*M$ に奇的シンプレクティック構造とポアンソウ・テンソルに付随する奇的ハミルトニアンベクトル場 $Q$ を導入する。
• $\Pi T\Sigma \to \Pi T^*M$ の写像空間上に、合計奇的ベクトル場 $\hat{D} + \check{Q}$ を定義し、そのハミルトニアンがBV作用関数を与える。
• $\partial\Sigma$ 上で境界条件 $\eta^+_{n'}=0$, $\beta^+_{n't}=0$ を第一種制約として課し、ハミルトニアン還元を実行する。
• AKSZ法を用いて、これらの境界条件を課したディスク上でのポアンソワ・シグマ模型のBV作用関数を導出する。
• 微分同相変換の作用を $\Pi T^*M$ 上への正準的持ち上げを用いて分析し、変換下でのBV作用関数の不変性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AKSZ形式主義を境界を持つ多様体に拡張することで、ポアンソワ・シグマ模型を記述できるか？
• RQ2 AKSZフレームワークにおける境界条件が、先行研究で得られたポアンソワ・シグマ模型のBV作用関数をどのように再現するか？
• RQ3 標的ポアンソワ多様体の微分同相変換がAKSZ構成において果たす役割は何か？ そして、量子的レベルで不変性はどのように保たれるか？
• RQ4 Kontsevichのスター積がなぜ微分同相変換で破れるように見えるのか？ そして、経路積分における古典的不変性とどのように調和するのか？

主な発見

• 境界条件 $\eta^+_{n'}=0$, $\beta^+_{n't}=0$ が自明なディスク上でのポアンソワ・シグマ模型のBV作用関数が、$\Pi T\Sigma \to \Pi T^*M$ 上のAKSZ構成により再現される。
• AKSZ法により、$\Pi T^*M$ 上のシンプレクティック形式を測度 $\mu$ に関して $\Pi T\Sigma$ 上で積分することで、古典的マスター方程式の解が得られ、正しいBV作用関数が得られる。
• 境界条件は第一種制約であり、ハミルトニアン還元を経て、先行研究の摂動的量子化から得られたBV作用関数と一致する。
• モデルは古典的に標的微分同相変換に対して不変であり、微分同相変換の正準的持ち上げ $\check{\Phi}$ に対して $\check{\Phi}^* \mathsf{S}_{\phi_*\alpha} = \mathsf{S}_\alpha$ が成り立つことから示される。
• 量子的レベルでは、無限小の微分同相変換が、対応するハミルトニアンがBVラプラシアンの核に属する限り、経路積分測度を保存する。これは、適切な正則化のもとで、関連関数に対して成立する。
• Kontsevichの公式における微分同相変換不変性の破れは、経路積分における境界項の挿入に起因し、変形作用関数は境界項 $S^C_\xi$ の期待値によって支配されることを示し、$L^\infty$-準同型と整合的である。