[論文レビュー] On the $\alpha$-spectral radius of graphs

Haiyan Guo, Bo Zhou|arXiv (Cornell University)|May 9, 2018

Graph theory and applications参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、さまざまなグラフクラスにおけるα-スペクトル半径ρα(G)、Aα(G) = αD(G) + (1−α)A(G)の最大固有値について調査する。サイクルを1つ持つグラフおよび非正則グラフに対してタイトな上界を確立し、第二最大および直径制約付き最大のα-スペクトル半径を持つ一意の木を同定し、スぺクトル半径への辺の再配置効果を証明し、最大次数とρα(G)の差を最大化するグラフの特徴付けに至る。

ABSTRACT

For $0\le \alpha\le 1$, Nikiforov proposed to study the spectral properties of the family of matrices $A_{\alpha}(G)=\alpha D(G)+(1-\alpha)A(G)$ of a graph $G$, where $D(G)$ is the degree diagonal matrix and $A(G)$ is the adjacency matrix. The $\alpha$-spectral radius of $G$ is the largest eigenvalue of $A_{\alpha}(G)$. We give upper bounds for $\alpha$-spectral radius for unicyclic graphs $G$ with maximum degree $\Delta\ge 2$, connected irregular graphs with given maximum degree and and some other graph parameters, and graphs with given domination number, respectively. We determine the unique tree with second maximum $\alpha$-spectral radius among trees, and the unique tree with maximum $\alpha$-spectral radius among trees with given diameter. For a graph with two pendant paths at a vertex or at two adjacent vertex, we prove results concerning the behavior of the $\alpha$-spectral radius under relocation of a pendant edge in a pendant path. We also determine the unique graphs such that the difference between the maximum degree and the $\alpha$-spectral radius is maximum among trees, unicyclic graphs and non-bipartite graphs, respectively.

研究の動機と目的

• 既知の木に対するα-スペクトル半径の上界を木からサイクルを1つ持つグラフへ拡張すること。
• すべての木の中で第二に大きなα-スペクトル半径を持つ一意の木を特定すること。
• 与えられた直径を持つすべての木の中で最大のα-スペクトル半径を持つ一意の木を特定すること。
• パビリオンパスにおけるパビリオン辺の再配置がα-スペクトル半径に与える影響を分析すること。
• 木、サイクルを1つ持つグラフ、非二部グラフのクラスにおいて、最大次数とα-スペクトル半径の差を最大化する一意のグラフを特徴付けすること。

提案手法

• D(G)を次数行列、A(G)を隣接行列とするAα(G) = αD(G) + (1−α)A(G)の行列を用いる。
• 0 ≤ α < 1のとき、連結グラフに対して一意の正の固有ベクトル（Perronベクトル）が存在することをPerron-Frobenius定理により保証する。
• 変分法および固有値の交互性を用いて、グラフの変形下でのρα(G)とρα(G′)の比較を行う。
• Lemma 2.1およびCorollary 2.1を活用し、特定の辺再配置操作がρα(G)を厳密に増加させることを証明する。
• 代数的変形および三次多項式の根の解析を用いて、星グラフに1本の追加辺を加えたグラフSn + eのα-スペクトル半径ρα(Sn + e)を計算する。
• コーシー・シュワルツの不等式およびトレース恒等式を用いて、スぺクトルエネルギーおよびエストラダ指数の上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大次数∆ ≥ 2のサイクルを1つ持つグラフにおけるα-スペクトル半径のタイトな上界は何か？
• RQ2 すべてのn次木の中で第二に大きなα-スペクトル半径を持つ木は何か？
• RQ3 固定された直径を持つすべての木の中で最大のα-スペクトル半径を持つ木は何か？
• RQ4 パビリオンパスにおけるパビリオン辺の再配置がα-スペクトル半径に与える影響は何か？そして、これを厳密に証明できるか？
• RQ5 木、サイクルを1つ持つグラフ、非二部グラフのクラスにおいて、最大次数とα-スペクトル半径の差を最大化するグラフは何か？

主な発見

• 最大次数∆ ≥ 2の木におけるα-スペクトル半径の上界は、サイクルを1つ持つグラフに対しても成立する。
• すべての木の中で第二に大きなα-スペクトル半径を持つ一意の木は、次数2とn−2の頂点を結ぶ中心辺を持つ二重星S_{2,n-2}である。
• 与えられた直径dを持つ木の中で最大のα-スペクトル半径を持つ一意の木は、適切なkに対する二重星S_{k,d−k}である。
• 頂点または隣接する2頂点にパビリオンパスが2本あるグラフにおいて、パビリオン辺を中心に向かって再配置するとα-スペクトル半径が増加し、[26]で提唱された予想が裏付けられる。
• 木、サイクルを1つ持つグラフ、非二部グラフのクラスにおいて、最大次数とα-スペクトル半径の差を最大化する一意のグラフは、星グラフに1本の追加辺を加えたグラフSn + eである。
• Sn + eのα-スペクトル半径は、三次方程式h(t) = t³ − (α(n+1)+1)t² + ((α²+3α−1)(n−1)+α(α+1))t + (1−2α)(α+1)(n−1) − 2(1−α)² = 0の最大根である。