[論文レビュー] On the arithmetic of crossratios and generalised Mertens' formulas

Jouni Parkkonen, Frédéric Paulin|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 35被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、虚二次体およびℚ上の定値ハミルトニアン代数に関連する双曲空間内の算術的点について、一般化されたメルテンスの公式と等分布結果を確立する。双曲幾何における交比および共通垂線から導かれる幾何的複雑性測度を用いて、二次無理数のトレースおよび二進二次形式、ヘルミート形式、ハミルトニアン形式による整数の表現に関する漸近的数え上げ法および弱-star等分布を証明し、明示的な誤差項を伴う。

ABSTRACT

We develop the relation between hyperbolic geometry and arithmetic equidistribution problems that arises from the action of arithmetic groups on real hyperbolic spaces, especially in dimension up to 5. We prove generalisations of Mertens' formula for quadratic imaginary number fields and definite quaternion algebras over the rational numbers, counting results of quadratic irrationals with respect to two different natural complexities, and counting results of representations of (algebraic) integers by binary quadratic, Hermitian and Hamiltonian forms with error bounds. For each such statement, we prove an equidistribution result of the corresponding arithmetically defined points. Furthermore, we study the asymptotic properties of crossratios of such points, and expand Pollicott's recent results on the Schottky-Klein prime functions.

研究の動機と目的

• 虚二次体および定値クォータニオン代数における古典的メルテンスの公式を、算術的数え上げ問題へと拡張すること。
• ガロア共役への距離に基づく新しい複雑性測度に基づく、二次無理数のトレースの等分布結果を確立すること。
• 二進二次形式、ヘルミート形式、ハミルトニアン形式による整数の表現に関する漸近的数え上げ公式を、明示的な誤差項とともに導出すること。
• 双曲3次元空間内における算術的点の交比の漸近的挙動を調査し、それらをスペクトル的および幾何的不変量に関連付けること。
• ポリコットのシュットキー＝クラインの素数関数に関する結果を、双曲幾何における幾何的および力学的手法を用いて一般化すること。

提案手法

• 複素数平面ℂおよび双曲空間ℍにおける算術的群の作用を用いて、ℂおよびℍにおけるノルムと距離を用いて自然な複雑性測度を定義する。
• 算術的点におけるディラック測度の等分布理論を適用し、複雑性が増加するにつれて、ℂまたはℍにおけるLebesgue測度に弱-star収束することを示す。
• 双曲空間内における点の交比を用いて、漸近的幾何を分析し、それらをスペクトルデータおよびゼータ関数に関連付ける。
• ジオデシック領域の商の体積を、類数、レギュレーター、ゼータ関数の留数といった算術的不変量と関連付けることで、数え上げ公式を導出する。
• ホロボールとジオデシック直線の間の共通垂線の幾何を用いて、長さを代数的整数のノルムの形で表現する。
• オーロイドおよび安定化部分群の体積公式や、安定化部分群の性質を用いて、誤差項を伴う漸近展開を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 理想ノルムおよび縮小ノルムに関して、虚二次体およびハミルトニアン代数ℚ(√−1)における複素平面およびハミルトニアン代数内の算術的点を数えることにおいて、メルテンスの公式をどのように一般化できるか？
• RQ2 ガロア共役への距離によって定義される複雑性の下で、実および複素二次無理数のトレースの等分布挙動はいかなるものか？
• RQ3 二進二次形式、ヘルミート形式、ハミルトニアン形式による整数の表現の漸近的挙動は、双曲3次元空間の幾何および算術的不変量とどのように関係するか？
• RQ4 双曲空間内における算術的点の交比は、ポリコットのシュットキー＝クライン素数関数に関する結果を拡張する役割を果たすか？
• RQ5 双曲3次元空間内における算術的商の体積および安定化部分群のデータは、数え上げの漸近的展開における主要係数をどのように決定するか？

主な発見

• 虚二次体の分数イデアル𝔪内のu,v∈𝔪に対するu/vにおけるディラック測度の正規化された和は、s→∞のときℂ上にLebesgue測度に等分布し、密度は|DK|ζK(2)/(2πs²)に比例する。
• ℚ上の定値クォータニオン代数Aに対して、ℍ内のuv⁻¹におけるディラック測度の正規化された和は、s→∞のときℍ上にLebesgue測度に等分布し、密度はπ²ζ(3)∏(p³−1)/(360DA s⁴)に比例する。
• PSL₂(ℤ)の有限索引部分群GのG軌道に属する二次無理数のトレースは、ε→0のときℝ上にLebesgue測度に等分布し、密度はπ²[PSL₂(ℤ):G]ε/(6[PSL₂(ℤ)α₀:Gα₀]Rα₀)に比例する。
• 虚二次体K≠ℚ(√−4)におけるゴールデンラジオφに対して、Γ₀(𝔠)·φのトレースは、ε→0のときℂ上にLebesgue測度に等分布し、密度は|DK|³/²ζK(2)n(𝔠)∏(1+1/n(p))ε²/(4π²kc ln φ)に比例する。
• 双曲3次元空間内における共通垂線の数え上げ関数ψ̄G,x,y(s)は、漸近的にs²のオーダーで増加し、レギュレーター、ゼータ関数、類数不変量を含む係数を有する。
• 数え上げ関数の漸近的展開における主要項は、ジオデシック領域の体積比および安定化部分群を用いて導出され、誤差項O(s⁻ᵏ)（あるk>0）を伴う。