[論文レビュー] On the asymptotic approximation to the probability distribution of extremal precipitation

V. Yu. Korolev, Andrey Gorshenin|arXiv (Cornell University)|May 31, 2017

Hydrology and Drought Analysis参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、湿潤期間内の最大降水量の分布に対する漸近的近似を提案し、湿潤期間の持続期間を形状母数 <1 の負の二項分布でモデル化する。極値分布は、ガンマ分布で混合されるフレシェ分布のスケール混合であり、スネデコーフィッシャー分布に従う確率変数のべき乗に等しく、パラメータ推定と混合表現を用いることで、極端な降水量現象の正確なモデリングとシミュレーションが可能になる。

ABSTRACT

Based on the negative binomial model for the duration of wet periods measured in days, an asymptotic approximation is proposed for the distribution of the maximum daily precipitation volume within a wet period. This approximation has the form of a scale mixture of the Frechet distribution with the gamma mixing distribution and coincides with the distribution of a positive power of a random variable having the Snedecor-Fisher distribution. The proof of this result is based on the representation of the negative binomial distribution as a mixed geometric (and hence, mixed Poisson) distribution and limit theorems for extreme order statistics in samples with random sizes having mixed Poisson distributions. Some analytic properties of the obtained limit distribution are described. In particular, it is demonstrated that under certain conditions the limit distribution is mixed exponential and hence, is infinitely divisible. It is shown that under the same conditions the limit distribution can be represented as a scale mixture of stable or Weibull or Pareto or folded normal laws. The corresponding product representations for the limit random variable can be used for its computer simulation. Several methods are proposed for the estimation of the parameters of the distribution of the maximum daily precipitation volume. The results of fitting this distribution to real data are presented illustrating high adequacy of the proposed model. The obtained mixture representations for the limit laws and the corresponding asymptotic approximations provide better insight into the nature of mixed probability ("Bayesian") models.

研究の動機と目的

• 湿潤期間内の最大降水量の分布に対する統計的に妥当な漸近的近似を構築し、従来の幾何分布モデルの不十分さを是正すること。
• 湿潤期間持続期間を形状母数 <1 の負の二項分布でモデル化し、幾何分布よりも実測気象データに適していること。
• 極端な降水量の極限分布として、ガンマ分布で混合されるフレシェ分布のスケール混合を確立し、混合ポアソンおよび極値順序統計量の理論から導出すること。
• 実世界のデータへの適合に適した計算的に実行可能なパラメータ推定法を、最小二乗法と確率プロットを用いて提示すること。
• ポツダムおよびエリスタの長期にわたる降水量データへの実証的適合を通じて、モデルの妥当性を検証すること。

提案手法

• 負の二項分布を混合幾何分布および混合ポアソン分布として表現し、ランダム標本サイズにおける極値順序統計量の極限定理の適用を可能にする。
• 混合ポアソン標本における極値順序統計量の極限定理を適用し、最大降水量の漸近的分布を導出する。
• 極限分布をガンマ分布で混合されるフレシェ分布のスケール混合として導出し、スネデコーフィッシャー分布に従う確率変数の正のべき乗に等しいことを示す。
• 2つのパラメータ推定法を提案：確率プロットに基づく「粗い」手法と、順序統計量と変換済み分位数を用いた最小二乗法。
• 極限分布の積表現を用いてシミュレーションを実施し、特定の条件下で安定分布、ワイブル分布、パレート分布、および折りたたみ正規分布を含む。
• 打ち切り技術を用いて、湿潤期間の閾値（1〜15日）を変化させた場合のモデルの漸近的挙動を評価し、モデルの精度を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形状母数 <1 の負の二項分布モデルは、実際の降水量データにおいて、従来の幾何分布よりも湿潤期間の持続期間をよりよく記述できるか？
• RQ2 湿潤期間持続期間が形状母数 r < 1 の負の二項分布に従うとき、湿潤期間内の最大降水量の漸近的分布は何か？
• RQ3 得られた極限分布は、どのようにフレシェ分布のスケール混合として表現できるか？ また、無限可除性などの解析的性質は何か？
• RQ4 実際の降水量データから、漸近的モデルのパラメータを効果的かつ正確に推定する方法は何か？
• RQ5 提案された漸近的モデルは、異なる湿潤期間長の閾値に対して、実測の極端な降水量分布をどれほど正確に近似できるか？

主な発見

• 最大降水量の漸近的分布は、ガンマ分布で混合されるフレシェ分布のスケール混合であり、スネデコーフィッシャー分布に従う確率変数の正のべき乗に等しい。
• 特定の条件下では、極限分布は無限可除であり、安定分布、ワイブル分布、パレート分布、または折りたたみ正規分布のスケール混合として表現可能である。
• 最小二乗法によるパラメータ推定法（式22および23）は、「粗い」確率プロット法よりもより正確な推定値を提供する。
• モデルは、ポツダム（r = 0.847）およびエリスタ（r = 0.876）の実測データに非常に良好に適合し、15日までの打ち切り閾値および150以上の標本サイズでも妥当である。
• 打ち切り閾値が3日以上であれば、近似は依然として正確であり、標本サイズよりも閾値の影響が顕著に現れる。
• モデルの混合表現により、極限降水量現象の効率的なコンピュータシミュレーションが、極限確率変数の積表現を用いて可能になる。