[論文レビュー] On the Asymptotic Capacity of $X$-Secure $T$-Private Information Retrieval with Graph Based Replicated Storage

Zhuqing Jia, Syed A. Jafar|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2019

Cryptography and Data Security参考文献 31被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、グラフに基づくレプリケートストレージを用いたXセキュアTプライベート情報検索（GXSTPIR）の漸近的容量を確立し、二重一般化リード・ソロモン符号を用いた新規スキームを提案することで、$(\rho_{\min} - X - T)/N$ のレートを達成した。$X=0$ の場合、各メッセージが最大$T+2$回レプリケートされるとき、容量が完全に特徴付けられ、$T=1$ および3レプリケートストレージでは漸近的レートが$2/\nu_2(G)$に等しい。

ABSTRACT

The problem of private information retrieval with graph-based replicated storage was recently introduced by Raviv, Tamo and Yaakobi. Its capacity remains open in almost all cases. In this work the asymptotic (large number of messages) capacity of this problem is studied along with its generalizations to include arbitrary $T$-privacy and $X$-security constraints, where the privacy of the user must be protected against any set of up to $T$ colluding servers and the security of the stored data must be protected against any set of up to $X$ colluding servers. A general achievable scheme for arbitrary storage patterns is presented that achieves the rate $(ρ_{\min}-X-T)/N$, where $N$ is the total number of servers, and each message is replicated at least $ρ_{\min}$ times. Notably, the scheme makes use of a special structure inspired by dual Generalized Reed Solomon (GRS) codes. A general converse is also presented. The two bounds are shown to match for many settings, including symmetric storage patterns. Finally, the asymptotic capacity is fully characterized for the case without security constraints $(X=0)$ for arbitrary storage patterns provided that each message is replicated no more than $T+2$ times. As an example of this result, consider PIR with arbitrary graph based storage ($T=1, X=0$) where every message is replicated at exactly $3$ servers. For this $3$-replicated storage setting, the asymptotic capacity is equal to $2/ν_2(G)$ where $ν_2(G)$ is the maximum size of a $2$-matching in a storage graph $G[V,E]$. In this undirected graph, the vertices $V$ correspond to the set of servers, and there is an edge $uv\in E$ between vertices $u,v$ only if a subset of messages is replicated at both servers $u$ and $v$.

研究の動機と目的

• メッセージがサーバーの部分集合でのみ格納されるグラフベースのレプリケートストレージ下でのXセキュアTプライベート情報検索（GXSTPIR）の漸近的容量を特定すること。
• TプライベートおよびXセキュアPIRに関する先行研究を、非一様レプリケーションを含む任意のストレージパターンに一般化すること。
• 構造化符号（特に二重一般化リード・ソロモン符号）を活用した、効率的なプライベートかつセキュアな検索を実現する実現可能スキームを開発すること。
• 情報理論的不等式（相互情報量およびマルコフ連鎖の議論を含む）に基づく一般逆問題境界を確立し、複数の設定で実現可能レートと一致させることで、主要なケースにおける容量を特徴付けすること。

提案手法

• 任意のストレージパターンに適応可能なGXSTPIRの新規実現可能スキームを提案し、$\rho_{\min}$ を任意のメッセージが格納される最小のサーバー数とするとき、レート$(\rho_{\min} - X - T)/N$ を達成する。
• 干渉を整列させ、安全かつプライベートなクエリ設計を可能にする、二重一般化リード・ソロモン（GRS）符号にインspiredされた符号構造を導入する。
• クロス部分空間整列と符号化クエリ設計を用い、$T$プライベート性（$T$台の共謀サーバーに対して）および$X$セキュリティ（$X$台の共謀サーバーに対して）を満たす。
• 情報理論的不等式に基づく一般逆問題境界を適用し、相互情報量およびマルコフ連鎖の議論を含む。
• $X$セキュリティおよび$T$プライベート性の制約から導かれる制約を用いて逆問題を導出し、これらの条件下で相互情報量項が消えることを示す。
• 特に$X=0$および$\rho_{\min} \leq T+2$の設定において、対称的および低レプリケーション設定で逆問題のタイトネスを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のグラフベースのレプリケートストレージパターンを想定したXセキュアTプライベート情報検索の漸近的容量は何か？
• RQ2 任意のストレージパターンに適応可能で、$X$セキュリティおよび$T$プライベート性を両方満たす一般化された実現可能スキームを構築できるか？
• RQ3 メッセージのサーバー間でのレプリケーション構造、特に$T+2$台以下のサーバーでのレプリケーションに限定された場合に、容量はどのように依存するか？
• RQ4 本稿で導出された逆問題境界は、広範なストレージグラフおよびパラメータのクラスにおいてタイトか？
• RQ5 $X=0$（セキュリティ制約なし）であり、各メッセージが最大$T+2$回レプリケートされる場合の正確な漸近的容量は何か？

主な発見

• 各メッセージが最大$T+2$回レプリケートされる場合、$X=0$のケースにおけるGXSTPIRの漸近的容量が完全に特徴付けられ、$T=1$ および3レプリケートストレージではレートが$2/\nu_2(G)$に等しい。
• 提案スキームは$(\rho_{\min} - X - T)/N$のレートを達成し、対称的ストレージパターンおよび他の構造的設定で逆問題境界と一致する。
• $T=1$ および3レプリケートストレージの場合、漸近的容量は$2/\nu_2(G)$であり、$\nu_2(G)$はストレージグラフ$G$における2マッチングの最大サイズを表す。
• 容量が解かれたすべての設定（対称的レプリケートおよび低レプリケートレジームを含む）で、逆問題境界がタイトであることが示された。
• 二重GRS符号の使用により、$T$プライベート性および$X$セキュリティ制約を同時に満たす構造化干渉整列スキームが可能になった。
• 本研究の結果は、PIR、TPIR、XSTPIRに関する先行研究を一般化し、グラフベースのレプリケートストレージという統一的な枠組みに統合した。