[論文レビュー] On the asymptotic S_n-structure of invariant differential operators on symplectic manifolds

Qingchun Ren, Travis Schedler|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティック多様体上の不変微分作用素の漸近的表現論的構造を研究し、特に対称群 $S_{n+1}$ が多微分作用素に作用する構造に注目する。次元 $2d$ の多様体に対して、反射表現 $rak{h}=bC^n$ の $inom{2d+1}{k}$ 重テンソル積の等型成分がポアソン多項式によって張られることを証明し、それらの成分に対応する明示的な有理型生成関数を提示する。その分母はフック長に関連している。

ABSTRACT

We consider the space of polydifferential operators on n functions on symplectic manifolds invariant under symplectic automorphisms, whose study was initiated by Mathieu in 1995. Permutations of inputs yield an action of S_n, which extends to an action of S_{n+1}. We study this structure viewing n as a parameter, in the sense of Deligne's category. For manifolds of dimension 2d, we show that the isotypic part of this space of <= 2d+1-th tensor powers of the reflection representation h=C^n of S_{n+1} is spanned by Poisson polynomials. We also prove a partial converse, and compute explicitly the isotypic part of <= 4-th tensor powers of the reflection representation. We give generating functions for the isotypic parts corresponding to Young diagrams which only differ in the length of the top row, and prove that they are rational functions whose denominators are related to hook lengths of the diagrams obtained by removing the top row. This also gives such a formula for the same isotypic parts of induced representations from Z/(n+1) to S_{n+1} where n is viewed as a parameter. We apply this to the Poisson and Hochschild homology associated to the singularity C^{2dn}/S_{n+1}. Namely, the Brylinski spectral sequence from the zeroth Poisson homology of the S_{n+1}-invariants of the n-th Weyl algebra of C^{2d} with coefficients in the whole Weyl algebra degenerates in the 2d+1-th tensor power of h, as well as its fourth tensor power. Furthermore, the kernel of this spectral sequence has dimension on the order of 1/n^3 times the dimension of the homology group.

研究の動機と目的

• 変数 $n$ を動かしたとき、シンプレクティック多様体上の不変多微分作用素の漸近的 $S_{n+1}$-表現構造を理解すること。
• 低高さ（$2d+1$ まで）の不変作用素の空間における等型成分をポアソン多項式によって特徴付けること。
• トップ行の長さのみが異なるヤン図形に対応する等型部成分の明示的生成関数を計算すること。分母はフック長に関連する。
• 不変作用素の位数 $2m$ の次元の多項式的成長を、ポアソン多項式部分と非ポアソン部分に分けて分析すること。
• 結果を、商特異点 $\mathbb{C}^{2dn}/S_{n+1}$ のポアソンホモロジーおよびホッフホモロジーに応用し、低高さの等型成分で同型が成立することを証明すること。

提案手法

• $n$ をパrameterとみなして、デリーニのカテゴリー枠組みを用い、$S_{n+1}$-表現の漸近的解析を可能にする。
• 調和多項式理論と $S_{n+1}$ の表現論を用いて、反射表現 $\frak{h}$ のテンソル積を分解する。
• 偏微分とポアソン括弧を含む式における係数 $\lambda_i, \mu_i$ を用いて、明示的な微分作用素を構成する。
• $S_3$--equivariant 構造を位数 $2m$ の作用素に適用し、対称的・反対称的部成分を分析し、次元公式を導出する。
• $\Phi: X_m \to Y_{m-1}$ の符号付き変換を用いて、準同型と $S_3$-表現分解を関係付ける。
• トップ行を除いたヤン図形のフック長を解析することで、等型成分の有理型生成関数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $2d$ のシンプレクティック多様体に対して、不変微分作用素空間における反射表現 $\frak{h}$ の $\leq 2d+1$ 重テンソル積の等型成分の構造は何か？
• RQ2 不変作用素 $\operatorname{Inv}_n(V)_{2m}$ の等型成分の次元は $n$ と共にどのように増加するか？その多項式的成長の次数は何か？
• RQ3 不変作用素の文脈において、$\frak{h}^{\otimes k}$ の等型成分とポアソン多項式の正確な関係は何か？
• RQ4 トップ行の長さのみが異なるヤン図形に対応する等型部成分の生成関数は、フック長に関連する分母を持つ有理関数として表現可能か？
• RQ5 低高さの等型成分において、ブリリニススペクトル系列の同型 $\mathsf{HP}_0 \cong \mathsf{gr}\,\mathsf{HH}_0$ はどの程度成立するか？

主な発見

• 次元 $2d$ の多様体に対して、不変作用素空間における $\leq 2d+1$ 重テンソル積の等型成分は、ポアソン多項式によって張られる。
• 位数 $2m$ の不変作用素の空間の次元は $n$ に関してちょうど次数 $2m$ の多項式的成長を示すが、非ポアソン部分は次数 $\leq 2m-3$ である。
• $n \geq m+2$ のとき、$\operatorname{Hom}_{S_{n+1}}(\frak{h}^{\otimes 3}, \operatorname{Inv}_n(V)_{2m})$ の次元は $2m+1$ であるが、$n = m+1$ のときには $m$ に低下し、$n \geq m+2$ では消える。
• トップ行の長さのみが異なるヤン図形に対応する等型部成分の生成関数は、有理関数であり、その分母はトップ行を除いた図形のフック長の積である。
• 自然な全射 $\mathsf{HP}_0(\mathcal{O}_{\mathbb{C}^{2dn}/S_{n+1}}, \mathcal{O}_{\mathbb{C}^{2dn}}) \to \mathsf{gr}\,\mathsf{HH}_0(\mathsf{Weyl}(\mathbb{C}^{2dn})^{S_{n+1}}, \mathsf{Weyl}(\mathbb{C}^{2dn}))$ は、$\frak{h}^{\otimes \leq 2d+1}$ の $\leq 2d+1$ 重テンソル積の等型成分に制限して同型となる。
• 全射の核の次元は、ホモロジー群の次元の $\sim \frac{1}{n^3}$ 倍に漸近的に比例する。