[論文レビュー] Poisson traces for symmetric powers of symplectic varieties

Pavel Etingof, Travis Schedler|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、アフィンなシンプレクティック多様体の対称冪上のポアソントレースの空間を計算し、零次のポアソンホモロジーの双対の対称代数と、対称冪上のポアソントレースの双対の直和の間の標準的同型を確立する。さらに、その解空間がポアソントレースの空間に一致する canonical D-加群の構造を同定し、これらの多様体の量子化における有限次元的表現および素イデアルの数に関する上限を得る。

ABSTRACT

We compute the space of Poisson traces on symmetric powers of affine symplectic varieties. In the case of symplectic vector spaces, we also consider the quotient by the diagonal translation action, which includes the quotient singularities C^{2n-2}/S_n associated to the type A Weyl group S_n and its reflection representation C^{n-1}. We also compute the full structure of the natural D-module, previously defined by the authors, whose solution space over algebraic distributions identifies with the space of Poisson traces. As a consequence, we deduce bounds on the numbers of finite-dimensional irreducible representations and prime ideals of quantizations of these varieties. Finally, motivated by these results, we pose conjectures on symplectic resolutions, and give related examples of the natural D-module. In an appendix, the second author computes the Poisson traces and associated D-module for the quotients C^{2n}/D_n associated to type D Weyl groups. In a second appendix, the same author provides a direct proof of one of the main theorems.

研究の動機と目的

• アフィンなシンプレクティック多様体 $ Y $ に対して、対称冪 $ S^nY $ 上のポアソントレースの空間を計算すること、特にシンプレクティックベクトル空間の場合を含む。
• 対角的平行移動作用に関する $ S^n\bb{C}^{2n} $ の商を分析し、型 $ A $ リー代数群 $ S_n $ に関連する特異点を含む。
• 解空間がポアソントレースの空間に一致する canonical $ \fancyscript{D} $-加群の完全な構造を特定すること。
• 対称冪のシンプレクティック多様体の量子化における有限次元的不可約表現および素イデアルの数に関する上限を導出すること。
• シンプレクティック解体に関する予想を提示・裏付けること。さらに、型 $ D $ リー代数群の商 $ T^*\bb{C}^n/D_n $ に対しても追加の結果を得ること。

提案手法

• 体積形式を用いた $ \mathsf{HP}_0(\mathcal{O}_Y) $ と $ H^{\dim Y}(Y) $ の同定により、$ \operatorname{Sym}(\mathsf{HP}_0(\mathcal{O}_Y)^* [t]) $ と $ \bigoplus_{n\geq 0} \mathsf{HP}_0(\mathcal{O}_{S^nY})^* $ の間の標準的同型を、$ n $ で重み付けられたものとして確立する。
• $ \mathsf{HP}_0(\mathcal{O}_{S^nY})^* $ が $ \mathcal{O}_{Y^n} $ 上の $ S_n $-不変汎関数の空間とポアソン括弧の類の商に同型であるという事実を用いる。
• $ S^nY $ 上に、代数的分布上の解空間がポアソントレースの空間に同型となる canonical $ \fancyscript{D} $-加群を構成する。
• $ \fancyscript{D} $-加群構造を活用し、任意の $ \mathcal{O}_{S^nY} $ の量子化 $ B_\hbar $ に対して $ \dim \mathsf{HH}_0(B_\hbar[\hbar^{-1}]) $ の上限を導出する。この際、同型 $ \mathsf{HP}_0(\mathcal{O}_{S^nY})(\!(\hbar)\!) \cong \operatorname{gr} \mathsf{HH}_0(\operatorname{Sym}^n A_\hbar[\hbar^{-1}]) $ を用いる。
• $ \mathcal{O}_V^{S_n} $ 上の $ \mathfrak{sl}_2 $-作用に着目し、特に最高重量ベクトルと対称化写像を用いて、ある種の対称多項式がポアソンイデアル $ \{\mathcal{O}_{V}^{S_n}, \mathcal{O}_{V}^{S_{n-1}}\} $ に属することを証明する。
• $ j $（変数の数）に関する二重帰納法と、$ m $（$ y_n $ の次数）に関する逆帰納法を用い、$ \operatorname{symm}'(x_1^{a_1}y_1^{b_1}\cdots x_j^{a_j}y_j^{b_j} y_n^m) \in \{\mathcal{O}_{V}^{S_n}, \mathcal{O}_{V}^{S_{n-1}}\} $ を示し、主定理の証明を完了する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィンなシンプレクティック多様体 $ Y $ に対して、対称冪 $ S^nY $ 上のポアソントレースの空間の構造はいかなるものか？
• RQ2 $ S^nY $ 上の canonical $ \fancyscript{D} $-加群は、ポアソントレースの解空間とどのように関係するか？
• RQ3 対称冪の量子化における有限次元的不可約表現および素イデアルの数にどのような上限を導出できるか？
• RQ4 型 $ A $ リー代数群 $ S_n $ に関連する商特異点、特に $ T^*\bb{C}^{n-1}/S_n $ に対して、結果はどのように拡張されるか？
• RQ5 型 $ D $ リー代数群の商 $ T^*\bb{C}^n/D_n $ に対して、$ \fancyscript{D} $-加群およびポアソントレースの構造はいかなるものか？

主な発見

• 重み付き代数の間の標準的同型が存在する：$ \operatorname{Sym}(\mathsf{HP}_0(\mathcal{O}_Y)^* [t]) \cong \bigoplus_{n\geq 0} \mathsf{HP}_0(\mathcal{O}_{S^nY})^* $、重み $ |t| = 1 $ を持ち、$ S^nY $ 上のポアソントレースの空間は $ n $ 番目の重み付き部分に一致する。
• 連結なアフィンなシンプレクティック多様体 $ Y $ に対して、$ \dim \mathsf{HP}_0(\mathcal{O}_{S^nY}) = a_n(\dim H^{\dim Y}(Y)) $ が成り立つ。ここで $ a_n(i) $ は $ n $ の $ i $-多重分割の数を表す。
• 任意の $ \mathcal{O}_Y $ の変形量子化 $ A_\hbar $ に対して、$ \operatorname{gr} \mathsf{HH}_0(\operatorname{Sym}^n A_\hbar[\hbar^{-1}]) \cong \mathsf{HP}_0(\mathcal{O}_{S^nY})(\!(\hbar)\!) $ が成り立ち、ポアソンホモロジーとホッホシュィルドホモロジーを結ぶ。
• 任意の $ \mathcal{O}_{S^nY} $ の量子化 $ B_\hbar $ に対して、$ \dim_{\bb{C}(\!(\hbar)\!)} \mathsf{HH}_0(B_\hbar[\hbar^{-1}]) \leq a_n(\dim H^{\dim Y}(Y)) $ が成り立ち、これは鋭い上限を与える。
• $ S^nY $ 上の canonical $ \fancyscript{D} $-加群は、代数的分布上の解空間がポアソントレースの空間に同型となるように構成される。
• 型 $ D $ リー代数群の商 $ T^*\bb{C}^n/D_n $ に対して、第二著者は付録 A でポアソントレースおよび関連する $ \fancyscript{D} $-加群を明示的に計算しており、この枠組みを型 $ D $ 特異点へ拡張している。