[論文レビュー] On the Asymptotics for the Vacuum Einstein Constraint Equations

Justin Corvino, Richard Schoen|ArXiv.org|Jan 21, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、コンpact領域内での与えられた漸近平坦初期データと一致し、大きな球の外側でカー断面（または他の許容可能な解）に漸近的に近づく真空アインシュタイン制約方程式の解を構成する。主な結果は、このようなデータが漸近平坦解の空間において稠密であることであり、コンパクトに摂動されたデータが無限遠における任意の所望のADMエネルギー運動量および角運動量を実現できることを示している。

ABSTRACT

Given asymptotically flat initial data on M^3 for the vacuum Einstein field equation, and given a bounded domain in M, we construct solutions of the vacuum constraint equations which agree with the original data inside the given domain, and are identical to that of a suitable Kerr slice (or identical to a member of some other admissible family of solutions) outside a large ball in a given end. The data for which this construction works is shown to be dense in an appropriate topology on the space of asymptotically flat solutions of the vacuum constraints. This construction generalizes work of the first author, where the time-symmetric case was studied.

研究の動機と目的

• コルビーノの時間対称なグリーディング構成を非時間対称な場合に拡張し、線形運動量および角運動量を組み込む。
• 真空アインシュタイン方程式の漸近平坦初期データをコンパクトに変更することで、大きな球の外側でカー断面（または類似解）と一致するようにできることを示す。
• 与えられた解がコンパクト集合の外で一致するようなデータの集合が、適切な位相に関してすべての漸近平坦解の空間において稠密であることを確立する。
• 適切なカー族のメンバーを選択することによって、無限遠におけるADMエネルギー運動量および角運動量を制御できることを示す。
• 一意的拡張が強い意味で失敗することを示す。すなわち、コンパクトなデータは、エネルギー、運動量、角運動量といった保存量によって支配される部分の漸近的構造しか決定しない。

提案手法

• 切り捨て関数を用いて、元の初期データとモデル解（例：カー断面）との間を、アニュラス領域で滑らかに補間する。
• 半径 $ R $ のアニュラス $ A_R $ 上で、元のデータが内境界で一致し、モデルデータが外境界で一致する一パラメータ族の近似解 $(\overline{g}_R, \overline{\pi}_R)$ を構成する。
• 制約がゼロからどれほどずれているかを測る写像 $\mathcal{I}_R(\lambda)$ を定義する。これは、テストベクトル場（平行移動 $X_k$、回転 $Y_k$）を用いてハミルトニアンおよび運動量制約に射影する。
• 位相的不変性と次数論を用いて、十分に大きな $ R $ に対して写像 $\mathcal{I}_R$ がゼロを持つことを示し、これによりモデル族内のあるパラメータ $ \lambda $ に対して解が存在することを示す。
• ADM量（エネルギー運動量 $E, \mathbf{P}$、角運動量 $\mathbf{J}$）が、元のデータの保存量と一致するモデルに近い $ \lambda $ を選ぶことで、結果の解のADM量を元のデータに任意に近づけることができる。
• 漸近的展開と計量および第二基本形式に関する積分恒等式を用いて、制約違反を大きな球面上の積分に結びつける。漸近平坦データの減衰性質を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 真空アインシュタイン方程式の漸近平坦初期データをコンパクトに変更することで、大きな球の外側でカー断面と一致するようにできるか？
• RQ2 コンパクト集合の外でカー解と一致する初期データの集合は、すべての漸近平坦解の空間において稠密か？
• RQ3 非時間対称な場合のグリーディング構成において、ADMエネルギー運動量および角運動量をどのように制御できるか？
• RQ4 保存量（エネルギー、運動量、角運動量）は、制約方程式の解の漸近的構造を決定する上でどのような役割を果たすか？
• RQ5 真空アインシュタイン制約方程式の解について、一意的拡張がどの程度失敗するか？

主な発見

• 構成により、コンパクト領域内で与えられた初期データと一致し、大きな球の外側でカー断面（または他の許容可能な解）と一致する真空アインシュタイン制約方程式の解が得られる。
• 得られた解は、グリーディングに用いられるカーモデルの選択に応じて、無限遠における任意の所望のADMエネルギー運動量および角運動量を実現できる。
• コンパクト集合の外でカー解（または類似解）と一致する初期データの集合は、適切な位相に関してすべての漸近平坦解の空間において稠密である。
• この方法は、制約違反写像 $\mathcal{I}_R$ に次数論を適用することに依拠しており、モデルパrameter $\lambda$ が元のデータの保存量に近い場合、十分に大きな $ R $ に対して写像がゼロに消えることが示された。
• 制約違反の漸近的振る舞いは、大きな球面上の積分を用いて分析され、ハミルトニアンおよび運動量制約は平行移動および回転場に射影されてADM量を制御する。
• この構成により、コンパクトに台を持つデータが、エネルギー、運動量、角運動量によって支配される部分の漸近的構造しか決定しないことが示され、一意的拡張が強い意味で失敗することを示している。