[論文レビュー] On the asymptotics of Kronecker coefficients, 2

Laurent Manivel|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2014

Graph theory and applications参考文献 18被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、対称群表現のテンソル積多重度であるクラインカー係数を理解するための幾何的枠組みを拡張し、安定な三重組がクラインカー多面体の面をなすこと、その次元は変動し、多くの場合コディメンション1の超面であることを示している。本稿では、面の次数（degree）という概念を導入し、伸びた係数の増加率と関連づけ、δ-単体的面が次数δをもつことを証明し、以前の加法的テーブルックスに関する結果を一般化し、最小の加法的ケースを超えて安定表現の構造を安定化させている。

ABSTRACT

Kronecker coefficients encode the tensor products of complex irreducible representations of symmetric groups. Their stability properties have been considered recently by several authors (Vallejo, Pak and Panova, Stembridge). In previous works we described a geometric method, based on Schur-Weyl duality, that allows to produce huge series of instances of this phenomenon. In this note we show how to go beyond these so-called additive triples. We show that the set of stable triples defines a union of faces of the moment polytope. Moreover these faces may have different dimensions, and many of them have codimension one.

研究の動機と目的

• 加法的三重組を超えて、安定クラインカー係数の幾何的構造を理解すること。
• 弱安定三重組の集合がクラインカー多面体の面の和集合として特徴付けられることを示すこと。
• 面の次数を定義し、その面における伸びたクラインカー係数の漸近的増加率と関連づけること。
• δ-単体的面を用いて安定性の概念を一般化し、その面と余接 bundle 構造との関係を明らかにすること。
• 面の次数がそのδ不変量に等しいことを確立し、加法的テーブルックスの結果をより広いクラスの安定三重組へ一般化すること。

提案手法

• シュール＝ウェイリの双対性とボレル＝ヴァイユ理論を用いて、表現論的問題をフラッグ多様体上の幾何的問題に翻訳する。
• モーメント多面体と余接 bundle の理論を応用し、クラインカー多面体内の面の構造を研究する。
• 面の内部における伸びたクラインカー係数の漸近的増加率として、面の次数を定義する。
• 面の次元に対する余接 bundle 内の重みの数を用いて、δ-単体的面を定義する。
• カワマタ＝ヴィエフエグの消失定理とコhomological消失定理を用いて、幾何的不変量理論における制限写像の全射性を制御する。
• 切断空間間の写像の単射性と全射性を用いて、クラインカー係数の増加度を下界と上界から制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クラインカー多面体のどの面が安定三重組に対応するか？
• RQ2 クラインカー係数の漸近的挙動は、多面体の幾何学的性質によって分類可能か？
• RQ3 面のδ-単体的性質と、その関連クラインカー係数の増加率の関係は何か？
• RQ4 すべての最大安定面は、クラインカー多面体においてコディメンション1であるか？
• RQ5 面の次数はそのδ不変量に等しいか？この関係は加法的ケースをどのように一般化するか？

主な発見

• 弱安定三重組の集合は、クラインカー半群とクラインカー多面体の面の和集合の共通部分として正確に一致する。
• 安定面は次元が変動しうり、多くの場合コディメンション1であり、多面体の超面であることを示唆している。
• 面の次数は、その内部における伸びたクラインカー係数の増加率として定義され、面全体で一定であり、境界面では減少する可能性がある。
• δ-単体的面は正確に次数δをもち、加法的テーブルックスのケース（0-単体的で次数0）を一般化している。
• 十分大きな重みに対して、コhomologyにおける制限写像の全射性が保証され、クラインカー係数の増加度がk^δのオーダーで下界が得られる。
• 面の次数は、埋め込まれた加法的面の選び方に依存せず、δは面のwell-definedな不変量である。