[論文レビュー] On the Asymptotics of Quantum Group Spinfoam Model

You Ding, Muxin Han|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2011

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿はループ量子重力における量子群スピン泡沫モデルのための新しい漸近解析技法を開発し、高スピン極限においてq-変形された一様状態と頂点振幅が、量子群の補正項が変形パラメータq−1に比例するSU(2)上の古典的積分に還元されることを示している。これらの補正項は、離散的重力における宇宙定数の半古典的源としての可能性を有する。

ABSTRACT

Recently a quantum group deformation of EPRL spinfoam model was proposed in arXiv:1012.4216 by one of the authors, and in arXiv:1012.4784 by Fairbairn and Meusburger. It is interesting to study the high spin asymptotics of the quantum group spinfoam model, to see if it gives the discrete Einstein gravity with cosmological constant as its semiclassical limit. In this article we propose a new technique, which can simplify the analysis of the high spin asymptotics for quantum group spinfoam vertex amplitude. This technique can generalize the spinfoam asymptotic analysis developed by Barrett, et al to quantum group spinfoam. As a preparation of asymptotic analysis, we define and analyze the coherent states and coherent intertwiners for quantum group, which has certain "factorization properties". We show that in the high spin limit of quantum group spinfoam, many q-deformed noncommutative ingredients become classical and commutative. In particular, the squared norm of coherent intertwiner and the (Euclidean) vertex amplitude become integrals on classical group, while there are some additional terms (written in terms of classical group variables) make quantum group corrections to the usual (classical group) coherent intertwiner and vertex amplitude. These quantum group correction terms turn out to be proportional to the deformation parameter, which hopefully gives the cosmological term as its semiclassical limit.

研究の動機と目的

• 量子群スピン泡沫モデル、特にEPRLqモデルの高スピン漸近解析を確立し、それが半古典的極限として宇宙定数を伴う離散的アインシュタイン重力をもたらすかどうかを検証すること。
• 半古典的領域における非可換な量子群幾何学と古典的曲がった境界幾何学との間の概念的不整合を解消すること。
• 古典的群スピン泡沫モデルで用いられる停留位相法を量子群設定に一般化し、頂点振幅の漸近解析を可能にすること。
• 量子群のための一体状態および一体状態を定義・解析し、漸近的簡略化に不可欠な因子分解性質を明らかにすること。
• 高スピン極限における量子群補正が、有効作用の宇宙定数項に対応する可能性を特定すること。

提案手法

• バレットらの古典的スピン泡沫モデルにおける漸近解析を、一様状態とハール積分に基づいて、量子群スピン泡沫モデルへ一般化する新しい技法を導入する。
• 余代数および量子平面構造を用いて、SLq(2)上に量子群一様状態を定義し、明示的な因子分解性質を明らかにする。
• 一体状態のノルムの二乗およびユークリッド頂点振幅を、量子群上の積分として表現し、高スピン極限で簡略化されることを示す。
• 高スピン極限において、量子群積分が、変形パラメータに比例する補正項を伴う古典的SU(2)積分に還元されることを示す。
• 一体状態および頂点振幅における量子群補正が、古典的群変数を含む項として特定され、これらが宇宙定数を符号化する可能性があることを特定する。
• 曲がった四面体および4-単体と対応するかを検証するため、有効作用S_effおよびS_γ<1,effを停留位相解析用に準備する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子群一様状態の高スピン極限は、古典的曲がった四面体幾何学に対応するか？
• RQ2 量子群頂点振幅の高スピン極限は、宇宙定数を伴うレッジ作用を再現するか？
• RQ3 漸近振幅における量子群補正は、変形パラメータに比例し、したがって宇宙定数に関連する可能性があるか？
• RQ4 停留位相近似は、古典的群から量子群スピン泡沫モデルへ成功裏に一般化可能か？
• RQ5 量子群モデルにおける一体状態は、下位の非可換構造にもかかわらず、古典的可換境界幾何学をもたらすか？

主な発見

• 高スピン極限において、量子群一様状態のノルムの二乗は、変形パラメータに比例する量子群補正項を伴う古典的SU(2)積分に還元される。
• 高スピン極限におけるユークリッド頂点振幅は、古典的SU(2)上の積分に還元され、古典的群変数に依存する変形パラメータに比例する量子群補正項を含む。
• 量子群一様状態は、漸近的解析を簡略化し、古典的積分への還元を可能にする因子分解性質を示す。
• 一体状態および頂点振幅から導かれる有効作用S_effおよびS_γ<1,effは、停留位相解析が可能となり、半古典的極限の検証に向けた道筋が開かれる。
• 一体状態および頂点振幅における量子群補正は、半古典的重力極限において宇宙定数を生じる可能性がある主要な項であると特定された。
• 本手法は、古典的群の漸近解析を量子群スピン泡沫モデルへ成功裏に一般化し、将来のローレンツ型モデルの解析のための枠組みを提供する。