[論文レビュー] On the automorphy of 2-dimensional potentially semi-stable deformation rings of $G_{\mathbb{Q}_p}$

Shen-Ning Tung|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2018

Finite Group Theory Research参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p)$ の 2 次元の潜在的半安定な変形環のすべての既約成分が、$\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ の $p$-進局所 Langlands 対応と patched モジュール $M_\infty(\sigma)[1/p]$ の分析を用いて、自動形式的であることを証明する。$p > 2$ の場合における Breuil-Mézard 猜想の新しい証明を提供し、$\bar{r}$ が mod $p$ の cyclotomic 特徴の倍率である場合の $p = 3$ の新しいケースを含み、Fontaine-Mazur 猜想の証明における局所的制限を除去する。

ABSTRACT

Using $p$-adic local Langlands correspondence for $\operatorname{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$, we prove that the support of patched modules constructed by Caraiani, Emerton, Gee, Geraghty, Paskunas, and Shin meet every irreducible component of the potentially semistable deformation ring. This gives a new proof of the Breuil-Mézard conjecture for 2-dimensional representations of the absolute Galois group of $\mathbb{Q}_p$ when $p > 2$, which is new in the case $p = 3$ and $\bar{r}$ a twist of an extension of the trivial character by the mod p cyclotomic character. As a consequence, a local restriction in the proof of Fontaine-Mazur conjecture by Kisin is removed.

研究の動機と目的

• 2 次元の $\mathbb{Q}_p$ の Galois 表現の潜在的半安定な変形環のすべての既約成分の自動形式的性を確立すること。
• 特に $p = 3$ で $\bar{r}$ が mod $p$ の cyclotomic 特徴による自明特徴の倍率である場合を含め、$p > 2$ の場合における Breuil-Mézard 猜想の新しい証明を提供すること。
• 標準的条件下で、成分の自動形式的性がモジュラリティを示すことにより、Fontaine-Mazur 猜想の証明における局所的制限を除去すること。
• patched モジュール $M_\infty(\sigma)[1/p]$ が $p$-進局所 Langlands 対応を介して、$R_{\bar{r}}^\Box(\sigma)[1/p]$ のすべての既約成分と交わることを示すこと。

提案手法

• $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ の $p$-進局所 Langlands 対応を用いて、patched モジュール $M_\infty(\sigma)[1/p]$ を Montreal 適応関手 $\check{\mathbf{V}}$ を通じて、適切なバナッハ空間表現 $\Pi_y$ と関連付ける。
• 固定行列式商 $M_\infty^\psi$ に Colmez の Montreal 適応関手 $\check{\mathbf{V}}$ を適用し、$\check{\mathbf{V}}(M_\infty^\psi)$ が $R_\infty^\psi$ 上の有限生成モジュールであることを示す。これは、$M_\infty$ が $R_\infty$ 上で有限生成でないという問題を克服する。
• Emerton と Paškūnas の結果を用いて、$R_\infty^\psi$ が $\check{\mathbf{V}}(M_\infty^\psi)$ 上に忠実な作用を持つことを証明し、任意の $y \in \operatorname{m-Spec} R_\infty^\psi[1/p]$ における特殊化が非ゼロであることを示す。
• $R_\infty^\psi$ 上の $\check{\mathbf{V}}(M_\infty^\psi)$ が有限生成モジュールであることを、$R_\infty^\psi\llbracket G_{\mathbb{Q}_p} \rrbracket$ 内の Cayley-Hamilton 関係によって生成されるイデアル $J$ を通して因数分解することにより、モジュール構造を制御する。
• [Kis09, GK14, EG14, Paš15] の形式的枠組みを用いて、$\Pi_y$ の非消滅性から成分の自動形式的性を導出し、例外的な場合（可約で、非水晶的で、半安定）を Hilbert-Samuel 乗数の計算により直接確認する。
• [BLGG13] の通常成分に関する結果と [EG14] のサイクル分解に関する結果を組み合わせ、$p=3$ の場合に未解決であったケースを含め、すべての成分が自動形式的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 潜在的半安定な変形環 $R_{\bar{r}}^\Box(\sigma)[1/p]$ のすべての既約成分が、$\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p)$ の automorphic forms から生じるか？
• RQ2 $p=3$ で $\bar{r}$ が mod $p$ の cyclotomic 特徴による自明特徴の倍率である場合に、先行研究に依存せずに Breuil-Mézard 猜想を証明できるか？
• RQ3 変形空間のすべての点で patched モジュール $M_\infty(\sigma)[1/p]$ が非消滅するならば、すべての成分が自動形式的であると結論づけられるか？
• RQ4 この自動形式的性の結果を用いて、Fontaine-Mazur 猜想の証明における局所的制限を除去できるか？
• RQ5 $R_{\bar{r}}^\Box(\sigma)/\varpi$ のサイクル分解は、Breuil-Mézard 猜想が予測する自動形式的サイクル構造と整合的か？

主な発見

• patched モジュール $M_\infty(\sigma)[1/p]$ の台が、潜在的半安定な変形環 $R_{\bar{r}}^\Box(\sigma)[1/p]$ のすべての既約成分と交わることを示し、それらすべてが自動形式的であることを証明する。
• 2 次元の $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}_p)$ 表現に対して、$p > 2$ の場合における Breuil-Mézard 猜想の新しい証明が確立され、$p = 3$ で $\bar{r}$ が mod $p$ の cyclotomic 特徴による自明特徴の倍率である場合を含む。
• $R_\infty^\psi$ が $\check{\mathbf{V}}(M_\infty^\psi)$ 上に忠実な作用を持ち、$\check{\mathbf{V}}(M_\infty^\psi)$ が $R_\infty^\psi$ 上の有限生成モジュールであることから、すべての $y \in \operatorname{m-Spec} R_\infty^\psi[1/p]$ に対して $\Pi_y \neq 0$ であることが保証される。
• 可約で、非水晶的で、半安定な例外的な場合を、Hilbert-Samuel 乗数の計算により直接確認し、$p > 2$ の場合に完全に Breuil-Mézard 猜想の証明を完成させる。
• Fontaine-Mazur 猜想は、[Kis09] の局所的制限が不要になった。すべての成分の自動形式的性が、相異なる Hodge-Tate 重みを持つ奇数で、既約かつ潜在的半安定な表現のモジュラリティを示す。
• サイクル分解 $\mathcal{Z}(R_{\bar{r}}^\Box(\sigma)/\varpi) = \sum m_{\bar{\sigma}}(\lambda,\tau) \mathfrak{C}_{\bar{\sigma}}(\bar{r}) \times \mathcal{Z}(k\llbracket x_1,\dots,x_d\rrbracket)$ が成り立つことが確認され、自動形式的サイクル構造と整合的であることが裏付けられる。