[論文レビュー] On the Bit Complexity of Sum-of-Squares Proofs

Prasad Raghavendra, Benjamin Weitz|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2017

Polynomial and algebraic computation参考文献 9被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、和の平方（SoS）証明のビット複雑性を解消し、低次のSoS証明が多項式的に有界な係数を持つ十分条件を確立する。一方で、ブール制約が存在しても、高次の段階に達するまで、証明が二重指数的係数を必要とする反例を構成する。本研究は、一般的な最適化問題における肯定的保証と、効率的なSoS証明の一般的妥当性に関する否定的結果を提供する。

ABSTRACT

It has often been claimed in recent papers that one can find a degree d Sum-of-Squares proof if one exists via the Ellipsoid algorithm. In [O17], Ryan O'Donnell notes this widely quoted claim is not necessarily true. He presents an example of a polynomial system with bounded coeffcients that admits low-degree proofs of non-negativity, but these proofs necessarily involve numbers with an exponential number of bits, causing the Ellipsoid algorithm to take exponential time. In this paper we obtain both positive and negative results on the bit complexity of SoS proofs. First, we propose a suffcient condition on a polynomial system that implies a bound on the coefficients in an SoS proof. We demonstrate that this sufficient condition is applicable for common use-cases of the SoS algorithm, such as Max-CSP, Balanced Separator, Max- Clique, Max-Bisection, and Unit-Vector constraints. On the negative side, O'Donnell asked whether every polynomial system containing Boolean constraints admits proofs of polynomial bit complexity. We answer this question in the negative, giving a counterexample system and non-negative polynomial which has degree two SoS proofs, but no SoS proof with small coefficients until degree Omega(sqrt(n))

研究の動機と目的

• 単体法による半定値計画法で次数dのSoS証明を効率的に見つけられると広く誤って信じられている主張に応えること。
• ブール制約を含む多項式系が常に多項式的ビット複雑性を持つSoS証明を備えるかどうかを調査すること。
• 特に一般的な最適化問題において、SoS証明の係数が有界であるための十分条件を同定すること。
• ブール制約が存在するにもかかわらず、高次の段階に達するまで、二重指数的係数を必要とする証明を含む反例を構成すること。

提案手法

• 解空間のスペクトル的豊かさ、耐性、完全性に基づく十分条件を提案し、SoS係数の有界性を保証する。
• 解空間のモーメント行列に大きなスペクトルギャップがある場合、その解空間上で消える低次の多項式が、低次のSoS導出を持つことを定義する。
• 対称性と置換の平均化を用いて、一般の多項式を対称多項式に還元し、制約からゼロ多項式を帰納的に導出可能にする。
• Max-CSP、バランスドセパレータ、Max-Clique、Max-Bisection、ユニットベクトル制約などの系において、解空間が十分条件を満たすことを証明する。
• 2n個の変数と制約 x_i^2 = x_i および ∑x_i = n を持つ反例系を構成し、次数2の非負多項式が、次数 Ω(√n) に達するまで、小さな係数を持つ証明を持たないことを示す。この場合、係数は (1/(2ε))^(2^n) に達する（ε = 1/(2n)）。
• 置換の生成する対称群を用いて、イデアルがグレブナー基底でなくても、解空間上で消える任意の多項式が低次のSoS導出を持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのブール制約を含む多項式系が、多項式的ビット複雑性を持つSoS証明を備えるか？
• RQ2 多項式系のどのような構造的性質が、そのSoS証明の係数が有界であることを保証するか？
• RQ3 係数がサイズにおいて二重指数的である場合、単体法が次数dのSoS証明を効率的に見つけられるか？
• RQ4 低次のSoS証明が必然的に二重指数的規模の係数を含む自然な最適化問題は存在するか？
• RQ5 解空間のスペクトル的性質が、効率的なSoS証明を保証する条件は何か？

主な発見

• 解空間のスペクトル的豊かさ、耐性、完全性という十分条件が、低次のSoS証明が多項式的に有界な係数を持つことを保証する。
• この十分条件は、Max-CSP、バランスドセパレータ、Max-Clique、Max-Bisection、ユニットベクトル制約といった一般的な問題に適用可能である。
• 反例として、次数2の非負多項式が、次数 Ω(√n) に達するまで、小さな係数を持つSoS証明を持たない系を構成した。この場合、係数は (1/(2ε))^(2^n) に達する（ε = 1/(2n)）。
• 反例は2n個の変数と制約 x_i^2 = x_i および ∑x_i = n を持つ系であり、ブール制約が存在してもビット複雑性が二重指数的になり得ることを示している。
• Max-Bisection制約系がすべての d ≤ n に対して d-完全であることが証明され、グレブナー基底でないにもかかわらず、低次のSoS導出が可能であることが示された。
• グレブナー基底の計算が非効率な場合でも、本フレームワークは有効である。Max-Bisectionの例では、グレブナー基底のサイズが指数的であることが示された。