[論文レビュー] On the Bloch-Kato conjecture for the Asai L-function

Tobias Berger|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、リベットの合同法を拡張し、ビアンキモジュラー形式に付随するアセイ（テンソル誘導）ガロア表現のブロッハ＝カトーセルマー群に非自明な元を構成する。4次元のガロア表現 $\tilde{R}$ を、ある素点 $\mathfrak{q}$ を法として誘導表現と合同であるように構成し、直交的・シンプレクティックなシータ対応を用いることで、そのような形式の存在が、アセイL関数の近中央臨界値の $q$-可除性を示し、ブロッハ＝カトーポンジュールと整合する。

ABSTRACT

Following Ribet's seminal 1976 paper there have been many results employing congruences between stable cuspforms and lifted forms to construct non-split extensions of Galois representations. We show how this strategy can be extended to construct elements in the Bloch-Kato Selmer groups of +/--Asai (or tensor induction) representations associated to Bianchi modular forms. We prove, in particular, how the Galois representation associated to a suitable low weight Siegel modular form produces elements in the Selmer group for exactly the Asai representation (+ or -) that is critical in the sense of Deligne. We further outline a strategy using an orthogonal-symplectic theta correspondence to prove the existence of such a Siegel modular form and explain why we expect this to be governed by the divisibility of the near-central critical value of the Asai L-function, in accordance with the Bloch-Kato conjecture.

研究の動機と目的

• ビアンキモジュラー形式に付随するアセイL関数に対するブロッハ＝カトーポンジュールの証拠を提供すること。
• 従来、テンソル積に用いられていた古典的合同法を、アセイ（テンソル誘導）表現へ拡張すること。
• 正しいパリティを持つアセイ表現のブロッハ＝カトーセルマー群に元を構成すること、これはデリーニの意味で臨界的である。
• 直交的・シンプレクティックなシータ対応を用いた、適切なシーゲルモジュラー形式の存在を示す戦略を提示すること。
• アセイL関数の近中央臨界値の可除性が、ブロッハ＝カトーポンジュールの非消滅性と結びつくことを、ブロッハ＝カトーポンジュールの予想に従って示すこと。

提案手法

• 体 $E_\mathfrak{q}$ 上の4次元ガロア表現 $\tilde{R}$ を構成し、その表現がねじれを除いて自己双対的であり、かつ誘導表現 $\mathrm{ind}_K^\mathbf{Q}(\rho_\pi)$ と $\mathfrak{q}$ を法として合同であるようにすること。
• 極性条件 $\tilde{R}^\vee \cong \tilde{R} \otimes \Psi$ を用いて、複素共役作用と表現の符号を関連付けること。
• フロベニウスの随伴性を適用し、$\rho_\Pi \cong \mathrm{ind}_K^\mathbf{Q}(\rho_\pi)$ ならば、$\rho_\Pi$ は非可約であり、所定の合同関係を満たす必要があることを示すこと。
• 直交群 $\mathrm{GO}(3,1)$ とシンプレクティック群 $\mathrm{GSp}_4$ 間のシータ対応を用い、$\Pi(\chi, \pi)$ に属する自動形式 $\Pi$ を $\sigma = \pi \boxplus \chi$ の上への持ち上げとして実現すること。
• ラリスの内積公式とペテルソンノルムの計算を用い、シータ持ち上げのノルムを臨界値 $L(1, \mathrm{As}^{(-1)^k}(\pi))$ と関連付けること。
• カツラダの方法とシーゲルイーゼンスタイン級数のプルバック公式を用い、シータ持ち上げと安定形式の間の合同関係を構成し、$\Pi(\chi, \pi)$ に属さない形式の存在を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソル積に用いられた合同法を、ビアンキモジュラー形式のアセイ表現へ拡張できるか。
• RQ2 シータ持ち上げと合同であるシーゲルモジュラー形式の存在は、アセイL関数の近中央臨界値の $\mathfrak{q}$-可除性を示すか。
• RQ3 $\mathfrak{q}$ が $L^{\mathrm{int}}(1, \mathrm{As}^{(-1)^k}(\pi))$ を割るとき、アセイ表現 $\mathrm{As}^{(-1)^k}(\rho_\pi)$ のセレマー群が非自明であるか。
• RQ4 直交的・シンプレクティックなシータ対応を用いて、所定の性質を満たすシーゲルモジュラー形式を構成できるか。
• RQ5 表現 $\tilde{R}$ の符号が、セレマー群における複素共役作用の固有空間を決定する役割を果たすか。

主な発見

• 本稿は、$\mathfrak{q} \mid L^{\mathrm{int}}(1, \mathrm{As}^{(-1)^k}(\pi))$ ならば、$\mathfrak{q}$ がブロッハ＝カトーセルマー群 $H^1_f(\mathbf{Q}, \mathrm{As}^{(-1)^k}(\rho_\pi)(1-k) \otimes E_\mathfrak{q}/\mathcal{O}_\mathfrak{q})$ の位数を割ることを証明している。
• 構成されたガロア表現 $\tilde{R}$ は、$\mathfrak{q}$ を法としてシンプレクティックであるため、セレマー群における正しい固有空間が保証される。
• 複素共役作用 $H^1_f(K, (\rho_\pi^\vee \otimes \rho_\pi^c) \otimes E_\mathfrak{q}/\mathcal{O}_\mathfrak{q})$ は、$(-1)^k$-固有空間に対応し、$\mathrm{As}^{(-1)^k}(\rho_\pi)$ のセレマー群と同型である。
• シータ持ち上げのペテルソンノルムが $L(1, \mathrm{As}^{(-1)^k}(\pi))$ を含むことが示され、形式の算術的性質と臨界L値が結びついた。
• $\Pi(\chi, \pi)$ に属さないが、シータ持ち上げと合同なシーゲルモジュラー形式の存在は、$\mathfrak{q}$-可除性 $L(1, \mathrm{As}^{(-1)^k}(\pi))$ によって支配され、ブロッハ＝カトーポンジュールの予想が要請する通りである。
• 与えられた合同および非可約性の仮定のもとで、$\rho_\Pi \cong \mathrm{ind}_K^\mathbf{Q}(\rho_\pi)$ が成り立つことが確立され、ガロア表現が誘導から生じることを確認した。