[論文レビュー] On the Book Thickness of 1-Planar Graphs

Md. Jawaherul Alam, Franz J. Brandenburg+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、1-平面的グラフが最大16ページの本埋め込みを有することを確立し、3連結な1-平面的グラフは最大12ページで十分であることを示している。これらの結果は、与えられた1-平面的埋め込みから線形時間で得られる。本手法は、平面的極大補完と階層的頂点順序戦略を活用し、交差を避けるように辺をページに割り当てる。これは、以前の上限39ページを改善するものである。

ABSTRACT

In a book embedding of a graph G, the vertices of G are placed in order along a straight-line called spine of the book, and the edges of G are drawn on a set of half-planes, called the pages of the book, such that two edges drawn on a page do not cross each other. The minimum number of pages in which a graph can be embedded is called the book-thickness or the page-number of the graph. It is known that every planar graph has a book embedding on at most four pages. Here we investigate the book-embeddings of 1-planar graphs. A graph is 1-planar if it can be drawn in the plane such that each edge is crossed at most once. We prove that every 1-planar graph has a book embedding on at most 16 pages and every 3-connected 1-planar graph has a book embedding on at most 12 pages. The drawings can be computed in linear time from any given 1-planar embedding of the graph.

研究の動機と目的

• 1-平面的グラフの本厚さに対するタイトな上限を特定すること。
• 与えられた1-平面的埋め込みから1-平面的グラフの本埋め込みを構築する線形時間アルゴリズムを開発すること。
• 1-平面的グラフの本厚さが16ページ未満に抑えられるかどうか、特に3連結グラフについて調査すること。
• 特に平面的極大補完を通じて効率的な本埋め込みを可能にする1-平面的グラフの構造的性質を調査すること。
• 1-平面的グラフが4ページより多くを必要とするかどうかという未解決の問題を解明し、平面的グラフにおける同様の未解決問題（3ページ対4ページの予想）と比較すること。

提案手法

• 交差する辺のペアをK₄に補完することで平面的極大埋め込みを構築し、スケルトンの平面性を保つ。
• 2連結成分と分離対に基づく階層的頂点順序を用い、頂点をレベルに割り当て、関節点の周囲で順序を整える。
• 体系的な規則に従い16ページに辺を割り当てる：外周上の辺はレベルの偶奇に応じてc₁またはc₅ページに、内部成分への辺は親辺のページとレベルの偶奇に基づいて割り当てる。
• 内部成分に対して再帰的な配置戦略を採用し、頂点順序と隣接制約を維持することで、同じページ上に存在する辺が交差しないようにする。
• Yannakakisの平面的グラフ用線形時間アルゴリズムをスケルトンに適用し、補完プロセスにより交差辺を含むように拡張する。
• 埋め込み内の頂点と辺の幾何的・位相的順序を分析することで、各16ページ上での辺の割り当てが交差しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の1-平面的グラフの最大本厚さは何か？ 39ページ未満に抑えられるか？
• RQ2 3連結な1-平面的グラフの本厚さは16ページ未満に低下可能か？
• RQ3 4ページを超える必要がある1-平面的グラフは存在するか？ もしあるなら、どのような構造的特徴が高めの本厚さを引き起こすか？
• RQ4 与えられた1-平面的埋め込みから1-平面的グラフの本埋め込みを計算する線形時間アルゴリズムは存在するか？
• RQ5 1-平面的グラフの本厚さは、平面的グラフのそれと比べてどうか？ 特に、平面的グラフにおける未解決の3ページ対4ページ予想の文脈で検討する。

主な発見

• 任意の1-平面的グラフの本厚さは最大16ページである。これは、以前の上限39ページを改善するものである。
• 3連結な1-平面的グラフの本厚さは最大12ページである。一般の場合に比べ顕著な改善である。
• 与えられた1-平面的埋め込みから任意の1-平面的グラフの本埋め込みを計算する線形時間アルゴリズムが存在する。
• 1-平面的グラフの平面的スケルトンがハミルトン路を含む場合、4ページで十分である。
• 拡張ホイールグラフXW₈が正確に4ページを必要とすることが示され、一部の1-平面的グラフでは4ページが必須であることを示している。
• 本稿では、平面的極大補完と階層的コンポーネント分解に基づく構造的な頂点順序とページ割り当て戦略により、1-平面的グラフがページ交差なしに埋め込めることが確立された。