[論文レビュー] On the C-property and $w^*$-representations of risk measures

Niushan Gao, Foivos Xanthos|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2015

Risk and Portfolio Optimization参考文献 16被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、$\lim_{t\to\infty}\frac{\Phi(t)}{t}=\infty$ を満たすOrlicz空間 $L_{ ire{\Phi}}(\mu)$ 上の適切な凸増加汎関数に対して、$w^{*}$-表現定理を、$L_1(\mathbb{P})$ を除き、C-性質の変種を導入することによって確立する。標準的な $\sigma(L_{\Phi}(\mu), L_{\Phi}(\mu)_{n}^{\sim})$ 位相は、$L_{\Phi}(\mu)$ が反射的でない限りC-性質を満たさないことが示され、DelbaenのFatou性質の結果の直接的な拡張が無効である。主な貢献は、ノルム有界な a.e. 収束を用いた $w^{*}$-下準連続性の特徴付けである。

ABSTRACT

We identify a large class of Orlicz spaces $X$ for which the topology $σ(X,X_n^\sim)$ fails the C-property introduced in [7]. We also establish a variant of the C-property and use it to prove a $w^*$-representation theorem for proper convex increasing functionals on dual Banach lattices that satisfy a suitable version of Delbaen's Fatou property. Our results apply, in particular, to risk measures on all Orlicz spaces over $[0,1]$ which is not $L_1[0,1]$.

研究の動機と目的

• Orlicz空間上での $\sigma(L_{\Phi}(\mu), L_{\Phi}(\mu)_{n}^{\sim}})$ に対するC-性質の有効性に関する曖昧さを解消すること。
• Delbaenの $w^{*}$-表現定理が $L_\infty(\mathbb{P})$ を超えて他のOrlicz空間へ拡張可能かどうかという未解決問題に取り組むこと。
• $\lim_{t\to\infty}\frac{\Phi(t)}{t}=\infty$ を満たす $L_{\Phi}(\mathbb{P})$ 上の適切な凸増加汎関数に対する $w^{*}$-表現定理を確立すること。
• ノルム有界性がFatou性質における役割を明らかにし、この設定下で $w^{*}$-下準連続性を示すのに十分であることを示すこと。

提案手法

• Orlicz空間 $L_{\Phi}(\mu)$ に対して、$\lim_{t\to\infty}\frac{\Phi(t)}{t}=\infty$ を満たす $w^{*}$-位相に特化したC-性質の変種を導入すること。
• $\sigma(L_{\Phi}(\mu), L_{\Phi}(\mu)_{n}^{\sim}})$ が、$L_{\Phi}(\mu)$ が反射的でない限り標準的なC-性質を満たさないことを証明すること。
• 新しく導入したC-性質の変種を用いて、適切なFatou型条件を満たす適切な凸増加汎関数に対する $w^{*}$-表現定理を確立すること。
• $L_{\Phi}(\mu)$ とその順序連続双対 $L_{\Phi}(\mu)_{n}^{\sim}$ 間の双対性を活用し、$w^{*}$-位相の前空間として $H_{\Psi}(\mu)$ を特定すること。
• $L_{\Phi}(\mathbb{P})$（$\Phi \neq \text{id}$）上でのリスク測度にこの表現を適用すること。$L_1(\mathbb{P})$ を除き、$L_1$ が双対空間でないため。
• 非有界順序収束とノルム有界な a.e. 収束を用いて、$w^{*}$-下準連続性を特徴付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Orlicz空間 $L_{\Phi}(\mu)$ に対して、$\lim_{t\to\infty}\frac{\Phi(t)}{t}=\infty$ を満たすとき、標準的な $\sigma(L_{\Phi}(\mu), L_{\Phi}(\mu)_{n}^{\sim}})$ 位相はC-性質を満たすか？
• RQ2 Delbaenの $L_\infty(\mathbb{P})$ に対する $w^{*}$-表現定理は、$L_1(\mathbb{P})$ を除く他のOrlicz空間 $L_{\Phi}(\mathbb{P})$ へ拡張可能か？
• RQ3 Orlicz空間上でのリスク測度の文脈において、ノルム有界性は $w^{*}$-下準連続性を示すのに十分か？
• RQ4 共役関数 $\Psi$ における $\Delta_2$-条件は、$\sigma(L_{\Phi}(\mu), L_{\Phi}(\mu)_{n}^{\sim}})$ に対するC-性質を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 $\lim_{t\to\infty}\frac{\Phi(t)}{t}=\infty$ を満たす $L_{\Phi}(\mathbb{P})$ 上の適切な凸増加汎関数に対して、$w^{*}$-表現が確立可能か？

主な発見

• $\sigma(L_{\Phi}(\mu), L_{\Phi}(\mu)_{n}^{\sim}})$ 位相は、$L_{\Phi}(\mu)$ が反射的でない限りC-性質を満たさない。これは、$L_\infty(\mathbb{P})$ が有限次元でない限り、$\sigma(L_\infty(\mathbb{P}), L_\infty(\mathbb{P})_{n}^{\sim}})$ がC-性質を満たさないことを意味する。
• $\lim_{t\to\infty}\frac{\Phi(t)}{t}=\infty$ を満たすOrlicz空間 $L_{\Phi}(\mu)$ に対して、$w^{*}$-位相下でC-性質の変種が成立する。
• $w^{*}$-表現定理が確立された：適切な凸増加汎関数 $\phi$ が適切なFatou性質を満たすとき、$\phi(f) = \sup_{g \in H_{\Psi}(\mu)} (\langle f, g \rangle - \phi^*(g))$ が成り立つ。
• この文脈では、Fatou性質は、列がノルム有界かつ a.e. 収束する場合に $w^{*}$-下準連続性と同値である。
• この結果は $L_1(\mathbb{P})$ を除外しており、$L_1$ が双対空間でないためであり、$\lim_{t\to\infty}\frac{\Phi(t)}{t}=\infty$ の条件により $L_{\Phi}(\mathbb{P}) \neq L_1(\mathbb{P})$ が保証される。
• Fatou性質におけるノルム有界性は、$w^{*}$-下準連続性を示すのに十分である。これは、Delbaenの元々のFatou性質における有界性条件が、この文脈ではノルム有界性として解釈可能であることを示唆している。