[論文レビュー] On the chaoticity and spectral structure of Rolewicz-type unbounded operators

Marat V. Markin|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2018

Holomorphic and Operator Theory参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$l_p$ ($1 \leq p < \infty$) および $c_0$ 列空間におけるロールヴィツ型非有界重み付き後退シフト作用素のカオス性と完全なスペクトル構造を確立する。$|w| > 1$ のとき、これらの作用素は超巡回的かつカオス的であり、スペクトルとして複素平面全体を有し、任意の $\lambda \in \mathbb{C}$ が一重固有値で、その固有空間は1次元であることを示す。

ABSTRACT

We prove the chaoticity and describe the spectral structure of Rolewicz-type weighted backward shift unbounded linear operators in the sequence spaces $l_p$ ($1\le p

研究の動機と目的

• バナッハ空間における有界作用素から非有界線形作用素への超巡回性およびカオス理論の拡張を図ること。
• 非有界重み付きロールヴィツ型後退シフト作用素の $l_p$ および $c_0$ 空間における動的挙動を分析すること。
• 特に複素数空間を想定した場合に、これらの作用素のスペクトル構造を特徴づけること。
• 任意の $\lambda \in \mathbb{C}$ が固有値であり、その固有空間が1次元であることを示し、$\sigma(A) = \mathbb{C}$ を得ること。

提案手法

• 作用素 $A$ を $X = l_p$ または $c_0$ 上で $Ax = (w^k x_{k+1})_{k \in \mathbb{N}}$ により定義し、$D(A) = \{x \in X : (w^k x_{k+1}) \in X\}$ と定める。
• 最終的に0となる列の空間 $c_{00}$ を含む $C^\infty(A) \supset c_{00}$ を示すことにより、$A$ が稠密に定義されており閉作用素であることを確立する。
• 急速に減少する成分を持つ列を用いて、作用素の軌道が $X$ で稠密となるような超巡回ベクトル $x$ を構成することで、超巡回性を証明する。
• 係数に周期的パターンを持つ列を用いることで、周期的点の集合が稠密であることを示し、カオス性を裏付ける。
• 固有値方程式 $Ax = \lambda x$ を分析し、任意の $\lambda \in \mathbb{C}$ に対して解空間が1次元であることを示す。
• 解列が $D(A) \setminus \{0\}$ に属することを検証することで、$\sigma(A) = \mathbb{C}$ であると結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界ロールヴィツ型重み付き後退シフト作用素が $|w| > 1$ のとき $l_p$ および $c_0$ 空間でカオス的であるか？
• RQ2 複素数空間を基底とする場合、このような非有界作用素のスペクトル構造は何か？
• RQ3 任意の $\lambda \in \mathbb{C}$ が作用素の固有値となるか？ もしなるならば、その固有空間の次元は何か？
• RQ4 有界ロールヴィツ作用素の超巡回性およびカオス性が、列空間における非有界版へと拡張可能か？
• RQ5 作用素の最大定義域 $D(A)$ は、作用素のダイナミクスおよびスペクトル的性質にどのように影響するか？

主な発見

• 任意の $w \in \mathbb{F}$ に対して $|w| > 1$ のとき、作用素 $A$ は $l_p$ ($1 \leq p < \infty$) および $c_0$ 空間でカオス的である。
• 基底となる空間が複素数空間であるとき、スペクトル $\sigma(A)$ は複素平面 $\mathbb{C}$ 全体に等しい。
• 任意の $\lambda \in \mathbb{C}$ が $A$ の固有値であり、その対応する固有空間は1次元である。
• 固有値 $\lambda$ に対応する固有ベクトルは $x_k = \left(\frac{\lambda}{w^{k/2}}\right)^{k-1} x_1$ で与えられ、任意の $x_1 \in \mathbb{C}$ に対して $D(A) \setminus \{0\}$ に属する。
• 作用素 $A$ の周期的点の集合は $X$ で稠密であり、作用素のカオス的性質を裏付ける。
• 適切に構成された超巡回ベクトルの軌道は $X$ で稠密であり、$A$ が超巡回的であることを証明する。