[論文レビュー] On the characterization of abelian varieties in characteristic $p>0$

Christopher D. Hacon, Zsolt Patakfalvi|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、アーベル多様体への双有理性を保証する条件を、アーベル多様体へのアーベル・アーリアス写像とコルダ・次元の分析によって、代数閉体上での特徴 $p > 0$ の正標数における正規・射影的多様体 $X$ に対して確立する。F特異点およびカーティエ・モジュールの技術を用いて、$κ(K_X) = 0$ かつアーベル多様体への写像が一般に有限で $p$ で割り切れない、または写像が分離的でかつターゲットのアーベル多様体が通常または超特異の場合、$X$ はアーベル多様体に双有理的であることを証明する。

ABSTRACT

This article is superseded by 1703.06631. We keep this version here since some of the arguments for the special cases treated here are different than those of 1703.06631.

研究の動機と目的

• 特異点のない正標数における最大アーベル多様体次元をもつ多様体についてのカワマタ＝ヴィエヒェグの特徴 $0$ の結果を正標数に一般化すること。
• 正標数 $p > 0$ における正規・射影的多様体 $X$ で $κ(K_X) = 0$ を満たすものが、いつアーベル多様体に双有理的であるかを特徴づけること。
• F特異点および一般化の理論のツールを適応することで、特徴 $0$ の結果を正標数に拡張すること。
• アーベル多様体への写像が分離的でない場合、特に高さ $1$ のイソジェニーを含む場合を扱い、通常および超特異アーベル多様体を扱うこと。
• 特徴 $p > 0$ における特異点の解消が存在しない状況下で、Weil除集合に対して $κ(K_X) = 0$ を定義し、それを用いること。

提案手法

• 多様体 $X$ をアーベル多様体 $A$ 上で調べる問題に還元するため、アーベル多様体へのアーベル多様体写像 $a: X \to A$ を用いる。
• ファイブレーションの文脈におけるコルダ次元の下位加法性を応用し、スティーン因数分解の一般ファイバーの解析を行う。
• カーティエ・モジュールと $S_0$-構成を用いて、canonical ファイバーの押し出し $a_*\omega_X$ を解析する。
• 非消滅セクションを持つラインバンドルの $V^0(K_X)$-集合を用いて、canonical 除集合の台を制約する。
• Poincaré の還元性および楕円曲線へのイソジェニーを用いて、超特異および通常アーベル多様体の構造を活用する。
• 相対的フロベニウス写像およびフォリエーション理論を用いて、高さ $1$ の有限かつ純粋に非分離なアーベル多様体写像の状況を解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴 $p > 0$ の体上に存在する正規・射影的多様体 $X$ で $κ(K_X) = 0$ を満たすものが、いつアーベル多様体に双有理的であるか。
• RQ2 アーベル多様体への写像が必ずしも分離的でない場合、特徴 $0$ の最大アーベル多様体次元をもつ多様体に関する結果を正標数に拡張できるか。
• RQ3 正標数における canonical ファイバーとそのアーベル多様体写像による押し出しの性質が、多様体 $X$ の幾何にどのように制約を加えるか。
• RQ4 アーベル多様体写像の高さが、アーベル多様体への双有理性を決定づける役割を果たすか。
• RQ5 アーベル多様体の構造（例えば通常または超特異）が、分離性や次数の制限が存在しない状況でも、双有理性の結果を回復するのに役立つか。

主な発見

• アーベル多様体への写像 $a: X \to A$ が一般に有限で $p \nmid \deg a$ であり、$κ(K_X) = 0$ ならば、$a$ は双有理的であり、$X$ はアーベル多様体に双有理的である。
• アーベル多様体への写像 $a$ が分離的で、かつ $A$ が通常または超特異であり、$κ(K_X) = 0$ ならば、$a$ は双有理的であり、$X$ はアーベル多様体に双有理的である。
• アーベル多様体への写像 $a$ が有限で、高さ $1$ の純粋に非分離的であり、$X$ が滑らかならば、$a$ は双有理的であり、$X$ はアーベル多様体に双有理的である。
• 定理 0.2 の証明により、$a$ が分離的で $κ(K_X) = 0$ ならば、$a$ は全射であることが示され、これは双有理性への重要なステップである。
• 超特異 $A$ の場合、アーベル多様体への写像が大きな開集合上でエタールであることが示され、分岐の純粋性により双有理性が導かれる。
• canonical ファイバー $Ϗ_X$ が $c_1(a_*\omega_X) = 0$ を満たすことが示され、分離性と組み合わせることで、$a$ が大きな開集合上でエタールであることが示され、双有理性に至る。