[論文レビュー] The subadditivity of the Kodaira Dimension for Fibrations of Relative Dimension One in Positive Characteristics

Yifei Chen, Lei Zhang|arXiv (Cornell University)|May 26, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、正の特性における相対次元1のファイブレーションに関して、Kodaira次元の劣加法性を確立し、代数閉体上の滑らかで射影的な多様体 $X$ と $Z$ に対して、$F$ を一般ファイバーの正規化とするとき、$κ(X) \geq \u03ba(Z) + \u03ba(F)$ が成り立つことを証明する。特に、曲線にファイブレーションされた表面に対しては、特異点の解消が存在しないという問題を回避するため、変形と安定曲線のモジュライ理論を用いて、より強い不等式 $\u03ba(S) \geq \u03ba_1(F) + \u03ba(C)$ が示される。

ABSTRACT

Let $f:X ightarrow Z$ be a separable fibration of relative dimension 1 between smooth projective varieties over an algebraically closed field $k$ of positive characteristic. We prove the subadditivity of Kodaira dimension $κ(X)\geqκ(Z)+κ(F)$, where $F$ is the generic geometric fiber of $f$, and $κ(F)$ is the Kodaira dimension of the normalization of $F$. Moreover, if $\dim X=2$ and $\dim Z=1$, we have a stronger inequality $κ(X)\geq κ(Z)+κ_1(F)$ where $κ_1(F)=κ(F,ω^o_F)$ is the Kodaira dimension of the dualizing sheaf $ω_F^o$.

研究の動機と目的

• 正の特性における相対次元1のファイブレーションに関して、Kodaira次元の劣加法性を確立すること。
• 正の特性における特異点の解消と弱正則性の失敗が、古典的手法を妨げる問題を扱うこと。
• 曲線にファイブレーションされた表面に対して、双対化線分束を含むより強い不等式を証明すること。
• Viehwegの手法を正の特性に一般化するため、解消の代わりにde Jongの変形を用いること。
• 一般ファイバーが特異であっても、正規化と変形による安定還元を用いて、劣加法性不等式が成り立つことを示すこと。

提案手法

• de Jongの変形を用いて、滑らかな基本変換 $Z' \to Z$ を構成し、その引き戻しファイブレーションが穏やかな特異点を持つようにする。
• ファイバー内の非安定な成分を収縮することで、$X'' \to Z'$ に対する安定ファイブレーション $f'' : X'' \to Z'$ を構成し、$X''$ が有理二重点を持つことを保証する。
• $X'' \to Z'$ 上での相対 canonical 線分束の弱正則性を適用し、$\kappa(X'', \omega_{X''/Z'}) \geq \kappa(\tilde{F})$ を得る。ここで $\tilde{F}$ は一般ファイバーの正規化である。
• 引き戻しによる canonical 線分束の比較：定理2.4を用いて、$\kappa(X'', \omega_{X''/Z'}) \leq \kappa(X', \omega_{X'/Z'}) \leq \kappa(X, \omega_{X/Z})$ を得る。
• 安定曲線のレベル構造を伴うモジュライ理論を用いて、有限かつ全射な基本変換 $Z_4' \to Z_4$ を構成し、ファイブレーションを $\bar{M}_g^{(m)}$ 上の普遍族に持ち上げることで、さらなる基本変換により族同士の同型が得られるようにする。
• 解消 $\mu: X_5' \to X_5$ を構成し、$R\mu_*\mathcal{O}_{X_5'} \cong \mathcal{O}_{X_5}$ が成り立つようにする。さらに $\nu: X_5' \to \bar{X}_5$ を用いて、$R\nu_*\mathcal{O}_{X_5'} \cong \mathcal{O}_{\bar{X}_5}$ を得ることで canonical 線分束を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性における相対次元1のファイブレーション $f: X \to Z$ に対して、Kodaira次元の劣加法性 $\kappa(X) \geq \kappa(Z) + \kappa(F)$ は成り立つか？
• RQ2 曲線にファイブレーションされた表面に対して、不等式 $\kappa(S) \geq \kappa_1(F) + \kappa(C)$ は正の特性でも強化可能か？
• RQ3 正の特性において特異点の解消が失敗する場合、Viehwegの劣加法性へのアプローチはどのように修正可能か？
• RQ4 変形と安定曲線のモジュライを用いて、制御された canonical 線分束の性質を持つ安定ファイブレーションを構成できるか？
• RQ5 劣加法性に際して $f_*\omega_{X/Z}^l$ の弱正則性は必要不可欠か？もしそうでなければ、正の特性において十分な代替手段は何か？

主な発見

• 任意の分離ファイブレーション $f: X \to Z$ について、正の特性の代数閉体上での滑らかで射影的な多様体 $X$ と $Z$ に対して、劣加法性不等式 $\kappa(X) \geq \kappa(Z) + \kappa(F)$ が成り立つ。
• 曲線 $C$ にファイブレーションされた表面 $f: S \to C$ に対して、より強い不等式 $\kappa(S) \geq \kappa_1(F) + \kappa(C)$ が成り立つ。ここで $\kappa_1(F) = \kappa(F, \omega_F^o)$ は双対化線分束に関するKodaira次元である。
• 証明は、de Jongの変形を用いて、滑らかな基本変換 $Z' \to Z$ を構成し、その引き戻しファイブレーションが穏やかな特異点を持ち、安定還元を許容することを示す。
• 安定ファイブレーション $X'' \to Z'$ の canonical 線分束は、$\kappa(X'', \omega_{X''/Z'}) \geq \kappa(\tilde{F})$ を満たす。ここで $\tilde{F}$ は一般ファイバーの正規化である。
• 引き戻しによる canonical 線分束の比較により、$\kappa(X'', \omega_{X''/Z'}) \leq \kappa(X, \omega_{X/Z})$ が成り立つため、劣加法性の境界が保たれる。
• 特異点の解消を回避するために、安定曲線のモジュライ空間と有限かつ全射な基本変換を用い、普遍族との同型を達成することで、canonical バンドルの制御が可能になる。