[論文レビュー] On the Choi-Jamiolkowski Correspondence in Infinite Dimensions

A. S. Holevo|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2010

Quantum Information and Cryptography参考文献 16被引用数 50

ひとこと要約

本稿は、無限次元量子系におけるチョイ・ヤミオルスキ（CJ）対応を厳密に数学的に定式化し、極限操作を用いず、非正規化最大もつれ状態およびチョイ行列を、稠密部分空間上の正定値半定値形式として定義する。主な貢献は、分離可能なCJ形式を用いたもつれを破壊するチャネルの特徴付けと、ボーズ型ガウス型チャネルの明示的表現、および有界CJ作用素の存在に必要な十分条件の確立である。

ABSTRACT

We give a mathematical formulation for the Choi-Jamiolkowski (CJ) correspondence in the infinite-dimensional case in the form close to one used in quantum information theory. We show that there is no need to use a limiting procedure to define "unnormalized maximally entangled state" and the corresponding analog of the Choi matrix since they can be defined rigorously as, in general, nonclosable forms on an appropriate dense subspace. The properties of these forms are discussed in Sec. 2. An important question is: when the CJ form is given by a bounded operator. This is the case for entanglement-breaking channels: we prove this in Sec. 3 along with a version of a result of Wolf et al. characterizing CJ operators which correspond to such channels by giving precise definitions of a separable operator and a relevant integral. In Sec. 4 we obtain explicit expressions for CJ forms and operators defining a general Bosonic Gaussian channel. In Sec. 5 we give a decomposition of the Gaussian CJ form into product of the four principal types and a necessary and sufficient condition for existence of the bounded CJ operator.

研究の動機と目的

• 先行研究で用いられる極限操作を避けて、無限次元ヒルベルト空間におけるチョイ・ヤミオルスキ対応の数学的に厳密な定式化を提供すること。
• 非正規化最大もつれ状態およびそれに対応するチョイ行列を、稠密部分空間上の正定値半定値形式として定義すること。
• 分離可能なCJ形式および積分表現を用いて、有限次元から無限次元へ拡張されたもつれを破壊するチャネルを特徴付けること。
• 一般ボーズ型ガウス型チャネルのCJ形式および作用素の明示的表現を導出すること。
• ガウス型チャネルの文脈において、有界CJ作用素の存在に必要な十分条件を確立すること。

提案手法

• チャネルΦと双対状態|ψ̄⟩を用いて、H_B × H_A 上のセスキリニアかつ正定値半定値形式としてCJ形式ΩΦを定義し、作用素の閉包を必要としない。
• 関係式ΩΦ(ψ_B⊗ψ_A; ψ'_B⊗ψ'_A) = ⟨ψ_B|Φ(|ψ̄_A⟩⟨ψ̄'_A|)|ψ'_B⟩ を用いて、双対状態へのチャネル作用の作用を通じて形式を定義する。
• トレース条件∑_k ΩΦ(e_k⊗ψ_A; e_k⊗ψ'_A) = ⟨ψ_A|ψ'_A⟩ を用いて部分トレースを一般化し、H_A 上の恒等写像と整合性を保つ。
• 共分散行列μの非退化性を用いて、シンプレクティック空間Z_B + Z_A を五つの直交部分空間（Z1からZ4およびZ0）に分解する。
• CCR代数の既約表現を用いて、ユニタリ発展Uを、量子ノイズ成分および古典的ノイズ成分に対応する部分空間上のテンソル積作用に分解する。
• シンプレクティック分解を通じて、四種類の主要なタイプ（非退化状態における量子ノイズ、純粋状態における量子ノイズ、正の分散を有する古典的ノイズ、およびゼロ分散の自明な古典的ノイズ）の積としてCJ形式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極限操作に依存せずに、無限次元量子系におけるチョイ・ヤミオルスキ対応をどのように厳密に定式化できるか？
• RQ2 チャネルに関連するCJ形式が有界作用素によって表現可能であるための条件は何か？
• RQ3 CJ対応を用いて、無限次元におけるもつれを破壊するチャネルをどのように特徴付けることができるか？
• RQ4 ボーズ型ガウス型チャネルのCJ形式の明示的構造は何か？ また、物理的成分にどのように分解されるか？
• RQ5 シンプレクティック分解は、CJ形式の構造および有界CJ作用素の存在を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• CJ形式ΩΦは、双対状態へのチャネル作用を用いることで、極限を必要とせず、H_B × H_A の稠密部分空間上の正定値半定値形式として厳密に定義可能である。
• CJ形式が有界作用素に対応するための必要十分条件は、ガウス型チャネルの共分散行列μが非退化であることである。
• もつれを破壊するチャネルは、分離可能なCJ形式によって特徴付けられ、対応する作用素の明確な積分表現が与えられる。
• ボーズ型ガウス型チャネルのCJ形式は、四種類の主要なタイプに分解される：非退化状態における量子ノイズ、純粋状態における量子ノイズ、正の分散を有する古典的ノイズ、およびゼロ分散の自明な古典的ノイズ。
• シンプレクティック分解Z_B + Z_A = Z1 ⊕ Z2 ⊕ Z′3 ⊕ Z′4 ⊕ Z0 を用いることで、ユニタリ発展が部分空間上の作用のテンソル積として表現可能となり、CJ形式の明示的構成が可能になる。
• CJ作用素の有界性の条件は、行列μの非退化性と同値であり、これによりノイズ構造の適切に定義された有限次元表現が保証される。