[論文レビュー] Separability and Entanglement-Breaking in Infinite Dimensions

A. S. Holevo, M. E. Shirokov+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2005

Quantum Information and Cryptography参考文献 9被引用数 33

ひとこと要約

本稿は、無限次元量子系における分離状態の積分表現を確立し、可算に分解できない分離状態の存在を証明することで、有限次元系における直観に反する結果を得た。また、エンタングルメントブレイキングチャネルの構造定理を一般化し、無限次元においてはKraus表現がランク1演算子で構成されない可能性があることを示し、有限次元の場合とは根本的に異なる構造的性質を明らかにした。

ABSTRACT

In this paper we give a general integral representation for separable states in the tensor product of infinite dimensional Hilbert spaces and provide the first example of separable states that are not countably decomposable. We also prove the structure theorem for the quantum communication channels that are entanglement-breaking, generalizing the finite-dimensional result of M. Horodecki, Ruskai and Shor. In the finite dimensional case such channels can be characterized as having the Kraus representation with operators of rank 1. The above example implies existence of infinite-dimensional entanglement-breaking channels having no such representation.

研究の動機と目的

• 無限次元ヒルベルト空間における分離状態の特徴付けを、有限次元フレームワークを超えて一般化すること。
• 可算に分解できない分離状態の存在を確立し、有限次元における有限の凸結合による分離性の概念に挑戦すること。
• エンタングルメントブレイキングチャネルの構造定理を無限次元に拡張し、有限次元では観察されない新たな構造的特徴を明らかにすること。
• 特に連続的対称性を有する無限次元エンタングルメントブレイキングチャネルの古典的容量を分析すること。

提案手法

• 密度作用素の空間上のボホルン測度のバーゲンター（barycenter）をボホルン積分を用いて定義し、分離状態の積分表現を可能にする。
• チョケの定理および弱コンパクト性基準を適用し、無限次元における分離状態が積状態に台を持つ測度のバーゲンターとして表現可能であることを示す。
• 特にフォック空間上の回転作用素によって誘導されるユニタリ共変チャネルの構造を用いて、エンタングルメントブレイキングチャネルをモデル化する。
• 出力エントロピーおよび相対エントロピーを用いて、エントロピー関数の連続性およびユニタリ不変性を活用し、このようなチャネルの古典的容量を導出する。
• トレースノルム位相および測度の弱収束を用いてバーゲンター写像の連続性および凸包のコンパクト性を保証する。
• チャネルの像の閉包の概念および出力エントロピーを最大化する一意な状態の存在を応用し、古典的容量を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元系における分離状態は、常に積状態の可算凸結合として表現可能か？
• RQ2 無限次元におけるエンタングルメントブレイキングチャネルは、有限次元の場合と同様に、ランク1演算子によるKraus表現を必ず持つか？
• RQ3 連続的回転対称性を有する無限次元エンタングルメントブレイキングチャネルの古典的容量は何か？
• RQ4 出力エントロピーが無限次元におけるチャネルの像上で連続となる条件は何か？
• RQ5 エンタングルメントブレイキングチャネルによって到達可能な状態の集合の構造は、無限次元において有限次元の場合とどのように異なるか？

主な発見

• 本稿は、可算に分解できない分離状態の最初の既知の例を構成し、分離状態が必ずしも有限または可算な積状態の凸結合から生じるわけではないことを示した。
• 無限次元系における分離状態が、積状態空間の積上のボホルン確率測度を用いた積分表現を有することを証明し、有限次元のカラテオドリ型表現を一般化した。
• 無限次元におけるエンタングルメントブレイキングチャネルが、ランク1演算子によるKraus表現を必ずしも持たないことを示し、有限次元における構造定理を一般化するとともに、根本的な構造的差異を明らかにした。
• 特に、連続的ユニタリ群に関して共変であるクラスのエンタングルメントブレイキングチャネルの古典的容量は、対角状態のヴォン・ノイマンエントロピーとして与えられ、$ C(\tilde{\Phi}) = -\sum_{k=-\infty}^{\infty} |\langle k|\varphi\rangle|^2 \log |\langle k|\varphi\rangle|^2 $ の式で表される。
• この容量が有限であるための必要十分条件は、エントロピー級数の収束であり、これがチャネルの像上で出力エントロピーの連続性を示唆し、最大エントロピーが達成可能であることを保証する。
• 出力エントロピーを最大化する一意な状態が、ユニタリ群に沿ったチャネル作用の平均として得られ、これはフォック基底における対角状態であることが示された。