[論文レビュー] On the Classification of Asymptotic Quasinormal Frequencies for d-Dimensional Black Holes and Quantum Gravity

José Natário, Ricardo Schiappa|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 49被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Ishibashi–Kodamaマスタ方程式を用いて、スティーブンスキー、リーマン＝ノールストローム、de Sitter、Anti-de Sitterを含むさまざまな時空型におけるd次元ブラックホールの漸近的準正規振動数を包括的に解析的に分類している。その結果、唯一スティーブンスキーの場合に次元に依存しない振動数が得られ、面積量子化などの一貫した量子重力応用が可能であることが判明した。一方、高次元および電荷を有するブラックホールでは、特別な場合（例：d=5）において次元に依存する、あるいは連続スペクトルを示すことがある。

ABSTRACT

We provide a complete classification of asymptotic quasinormal frequencies for static, spherically symmetric black hole spacetimes in d dimensions. This includes all possible types of gravitational perturbations (tensor, vector and scalar type) as described by the Ishibashi-Kodama master equations. The frequencies for Schwarzschild are dimension independent, while for RN are dimension dependent (the extremal RN case must be considered separately from the non-extremal case). For Schwarzschild dS, there is a dimension independent formula for the frequencies, except in dimension d=5 where the formula is different. For RN dS there is a dimension dependent formula for the frequencies, except in dimension d=5 where the formula is different. Schwarzschild and RN AdS black hole spacetimes are simpler: the formulae for the frequencies will depend upon a parameter related to the tortoise coordinate at spatial infinity, and scalar type perturbations in dimension d=5 lead to a continuous spectrum for the quasinormal frequencies. We also address non-black hole spacetimes, such as pure dS spacetime--where there are quasinormal modes only in odd dimensions--and pure AdS spacetime--where again scalar type perturbations in dimension d=5 lead to a continuous spectrum for the normal frequencies. Our results match previous numerical calculations with great accuracy. Asymptotic quasinormal frequencies have also been applied in the framework of quantum gravity for black holes. Our results show that it is only in the simple Schwarzschild case which is possible to obtain sensible results concerning area quantization or loop quantum gravity. In an effort to keep this paper self-contained we also review earlier results in the literature.

研究の動機と目的

• 球対称性を有するすべてのd次元ブラックホール時空において、漸近的準正規振動数を体系的に分類すること。
• 特に極端状態および高次元の場合に、これらの振動数が次元に依存するか否かを特定すること。
• 特に面積量子化およびループ量子重力において、準正規モードが量子重力への応用に適しているかどうかを評価すること。
• 数値結果と解析的期待との不一致を解消するため、正確な漸近的公式を導出すること。
• 4次元における準正規モードに関する先行研究を高次元に拡張し、宇宙定数および電荷を含める。

提案手法

• d次元における重力的摂動をテンソル型、ベクトル型、スカラ型に分解するため、Ishibashi–Kodamaマスタ方程式の適用。
• ホライズンおよび空間無限遠におけるトーティーズ座標および有効ポテンシャルの漸近的解析。
• ラジアル波動方程式から漸近的準正規振動数スペクトルを抽出するためのWKB法およびモノドロミー法の使用。
• 時空パラメータおよび次元dの関数として、漸近的周波数の正確な解析的表現の導出。
• 解析的挙動が異なるため、極端状態および非極端状態のリーマン＝ノールストロームブラックホールを別々に取り扱う。
• 既知の数値データとの照合を通じて、解析的結果の正確性を数値的確認。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d次元スティーブンスキー・ブラックホールの漸近的準正規振動数は何か？また、これらは次元に依存しないか？
• RQ2 リーマン＝ノールストロームブラックホールの漸近的周波数は、時空次元にどのように依存するか？特に極端状態の場合に注目。
• RQ3 なぜd=5の場合に、スティーブンスキー-de Sitterおよびリーマン＝ノールストローム-de Sitter時空において異なる周波数公式が現れるのか？
• RQ4 特にd=5におけるスカラ型摂動に関して、d次元Anti-de Sitter時空における準正規スペクトルの性質は何か？
• RQ5 d次元ブラックホールにおける準正規周波数は、面積量子化などの一貫した量子重力予測を支持できるか？

主な発見

• スティーブンスキー・ブラックホールの漸近的準正規周波数は次元に依存せず、4次元の場合と一致する。
• リーマン＝ノールストロームブラックホールでは、周波数は次元に依存し、極端状態の場合は別個の取り扱いが必要である。
• スティーブンスキー-de Sitter時空では、周波数公式は次元に依存しないが、d=5の場合は例外的に異なる。
• リーマン＝ノールストローム-de Sitter時空では、周波数公式は次元に依存し、d=5がその例外である。
• d次元Anti-de Sitter時空では、d=5におけるスカラ型摂動が連続スペクトルを示し、離散周波数ではない。
• 唯一、スティーブンスキーの場合に、一貫性があり次元に依存しない結果が得られ、面積量子化などの量子重力応用に適している。