[論文レビュー] On the classifying space of the family of finite and of virtually cyclic subgroups for CAT(0)-groups

Wolfgang Lueck|ArXiv.org|Feb 4, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、完備な CAT(0) 空間上に properly かつ等長的に作用する CAT(0) 群の、有限部分群およびほとんど巡回部分群の分類空間の次元の上限を確立する。幾何学的群論および CAT(0) 空間の性質を用いて、空間の位相次元が d（d=1 または d≥3、d≠2）であるとき、proper な作用のための分類空間の次元は d 以下であり、ほとんど巡回部分群のための分類空間の次元は d+1 以下であることを証明する。

ABSTRACT

Let G be a discrete group which acts properly and isometrically on a complete CAT(0)-space X. Consider an integer d with d=1 or d greater or equal to 3 such that the topological dimension of X is bounded by d. We show the existence of a G-CW-model E_fin(G) for the classifying space for proper G-actions with dim(E_fin(G)) less or equal to d. Provided that the action is also cocompact, we prove the existence of a G-CW-model E_vcyc(G) for the classifying space of the family of virtually cyclic subgroups such that dim(E_vcyc(G)) is less or equal to d+1.

研究の動機と目的

• 離散群が完備な CAT(0) 空間上に properly かつ等長的に作用する場合、proper な G-作用のための分類空間（$\underline{E}G$ と表記）の次元の上限を確立すること。
• cocompact または半単純性の仮定の下で、この結果を virtually 無限巡回部分群の族のための分類空間（$\underline{\underline{E}}G$）に拡張すること。
• 特に、空間の位相次元が 2 でない場合に、CAT(0) 幾何学の文脈で $\underline{E}G$ と $\underline{\underline{E}}G$ の間の次元ギャップを解消すること。
• 適切な条件下で、CAT(0) 群に対して予想された不等式 $\operatorname{hdim}^{G}(\underline{E}G)-1 \leq \operatorname{hdim}^{G}(\underline{\underline{E}}G) \leq \operatorname{hdim}^{G}(\underline{E}G)+1$ が成り立つことを検証すること。
• 非正曲率のリーマン多様体や cocompact に作用する virtually トーションフリー群のような幾何的設定において、鋭い次元推定値を提供すること。

提案手法

• CAT(0) 空間 $X$ の幾何的性質を用いて、proper な G-作用のための $G$-CW モデル $\underline{E}G$ の存在を利用する。
• 定理 2.11 (ii) を適用して、$X$ の位相次元が $\leq d$ であれば、$\underline{E}G$ が $d$ 次元のモデルをもつことを導出する。
• 無限巡回部分群 $C \subseteq G$ の正規化群と Weyl 群を、生成元 $g$ の最小集合 $\operatorname{Min}(g)$ 上の作用を用いて分析する。
• $W_G C$-作用を、$X$ の部分空間 $Y(g) \subseteq X$ 上に構成する。この部分空間は低い位相次元を持ち、CAT(0) 構造を引き継ぎ、Weyl 群に関する帰納法が可能になる。
• 特にコロナリー 5.4 を含む [11] の結果を適用して、$\operatorname{hdim}(\underline{E}G)$ と $\operatorname{hdim}(\underline{\underline{E}}G)$ の関係を関連付ける。
• 非負の断面曲率を持つ完備リーマン多様体は CAT(0) 空間であるという事実を用い、cocompact $G$-作用をもつ多様体に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群 $G$ が完備な CAT(0) 空間 $X$ 上に properly かつ等長的に作用するとき、$X$ の位相次元を用いて、proper な G-作用のための分類空間 $\underline{E}G$ の次元を上限で評価できるか？
• RQ2 位相次元 $\operatorname{top-dim}(X) \leq d$ の下で、$\underline{\underline{E}}G$ が次元 $d+1$ 以下のモデルをもつための条件は何か？
• RQ3 位相次元 $\operatorname{top-dim}(X) \neq 2$ のとき、不等式 $\operatorname{hdim}^{G}(\underline{E}G)-1 \leq \operatorname{hdim}^{G}(\underline{\underline{E}}G) \leq \operatorname{hdim}^{G}(\underline{E}G)+1$ が CAT(0) 群に対して成り立つか？
• RQ4 群 $G$ が単連結で完備な $n$ 次元リーマン多様体上に cocompact かつ等長的に作用するとき、$\underline{E}G$ と $\underline{\underline{E}}G$ の正確な次元上限は何か？ただし、断面曲率は非負。
• RQ5 超曲率的またはユークリッド的群のような幾何的群論の設定において、$\underline{E}G$ と $\underline{\underline{E}}G$ の間の次元ギャップを完全に特徴づけられるか？

主な発見

• 離散群 $G$ が完備な CAT(0) 空間 $X$ 上に properly かつ等長的に作用し、$\operatorname{top-dim}(X) \leq d$ であるとき、$d=1$ または $d \geq 3$ ならば、$\underline{E}G$ は次元が $d$ 以下の $G$-CW モデルをもつ。
• 作用が半単純等長変換（例えば cocompact）であるならば、$\underline{\underline{E}}G$ は virtually 無限巡回部分群の族のための $G$-CW モデルを次元 $d+1$ 以下でもつ。
• $\operatorname{top-dim}(X) = \operatorname{hdim}^{G}(\underline{E}G) \neq 2$ のとき、不等式 $\operatorname{hdim}^{G}(\underline{E}G)-1 \leq \operatorname{hdim}^{G}(\underline{\underline{E}}G) \leq \operatorname{hdim}^{G}(\underline{E}G)+1$ が成り立つ。
• virtually トーションフリー群 $G$ が単連結で完備な $n$ 次元リーマン多様体上に cocompact かつ等長的に作用するとき、$\operatorname{hdim}(\underline{E}G) = n$ かつ $n-1 \leq \operatorname{hdim}(\underline{\underline{E}}G) \leq n+1$ である。
• 群 $G$ が閉じた双曲的 $n$-多様体の基本群である場合、$\operatorname{hdim}(\underline{E}G) = \operatorname{hdim}(\underline{\underline{E}}G) = n$ である。
• 群 $G$ が $n \geq 2$ に対して virtually $\mathbb{Z}^n$ であるとき、$\operatorname{hdim}(\underline{E}G) = n$ かつ $\operatorname{hdim}(\underline{\underline{E}}G) = n+1$ であり、次元ギャップの両端のケースが両方とも実現されている。