[論文レビュー] On the coalgebra description of OCHA

Eduardo Hoefel|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、対称代数とテンソル代数の余代数のテンソル積 $\Lambda^c\mathcal{H}_c \otimes T^c\mathcal{H}_o$ に、オープン・クローズドホモトピー代数（OCHA）構造が本質的に埋め込まれていることを確立する。任意の次数1の余微分作用素 $\mathfrak{D} = \mathfrak{l} + \mathfrak{n}$ が $(\mathfrak{l}+\mathfrak{n})^2 = 0$ を満たすとき、それがOCHA構造とちょうど一致することを証明し、さらにOCHAが $A_\infty$-拡大を経由して、対称化およびシャッフル写像 $\Xi$ を通じて構成可能であることを示している。また、OCHAの普遍包あらゆる $A_\infty$-代数は、その $L_\infty$-部分の普遍包あらゆる $A_\infty$-代数への $A_\infty$-拡大として得られることを示している。

ABSTRACT

OCHA is the homotopy algebra of open-closed strings. It can be defined as a sequence of multilinear operations on a pair of DG spaces satisfying certain relations which include the $L_\infty$ relations in one space and the $A_\infty$ relations in the other. In this paper we show that the OCHA structure is intrinsic to the tensor product of the symmetric and tensor coalgebras. We also show how an OCHA can be obtained from $A_\infty$-extesions and define the {\it universal enveloping} $A_\infty$-algebra of an OCHA as an $A_\infty$-extension of the universal enveloping of its $L_\infty$ part by its $A_\infty$ part.

研究の動機と目的

• OCHAの背後にある余代数的構造を特定し、OCHAが外部的な制約ではなく、対称代数とテンソル代数のテンソル積の自然な性質であることを示すこと。
• OCHAにおける $n_{p,0}$ マップの数学的役割を明確にし、物理的には閉じた弦を開放するプロセスに対応することを解明すること。
• OCHAの普遍包あらゆる $A_\infty$-代数を、その $L_\infty$-部分の普遍包あらゆる $L_\infty$-代数への $A_\infty$-部分による $A_\infty$-拡大として定義し、特徴づけること。
• OCHA構造が、対称化およびシャッフル写像 $\Xi$ を通じて $A_\infty$-拡大から自然に得られることを示し、ホモトピー代数の拡大とOCHAを結びつけること。

提案手法

• 本稿は、DG空間 $\mathcal{H}_c$ と $\mathcal{H}_o$ を用いて、余代数 $\Lambda^c\mathcal{H}_c \otimes T^c\mathcal{H}_o$ 上の余微分作用素の余代数的枠組みを用い、OCHA構造を次数1の余微分作用素 $\mathfrak{D} = \mathfrak{l} + \mathfrak{n}$ として表現する。
• 任意の余微分作用素が $\Lambda^c\mathcal{H}_c \otimes T^c\mathcal{H}_o$ 上に存在するとき、OCHA制約を自動的に満たすことが証明され、これは $M^A_{p,q}$ および $M^B_n$ の形の成分のみが許容されることを意味し、OCHA構造が余代数に本質的に埋め込まれていることを示している。
• 対称化およびシャッフルを用いて構成された余代数写像 $\Xi: \Lambda^c\mathcal{H}_c \otimes T^c\mathcal{H}_o \to T^c(\mathcal{H}_c \oplus \mathcal{H}_o)$ を通じて、$A_\infty$-拡大とOCHA構造を関連付ける。
• OCHAの普遍包あらゆる $A_\infty$-代数は、$\mathcal{U}_\infty(\mathcal{H}_c)$ への $\mathcal{H}_o$ による $A_\infty$-拡大として定義され、$\mathcal{U}_\infty(\mathcal{H}_c, \mathcal{H}_o)$ 上の $A_\infty$-構造は写像 $\Xi$ を通じて誘導される。
• 符号は可換性の符号とシャッフル置換に従い、多重線形写像を $\Lambda^c\mathcal{H}_c \otimes T^c\mathcal{H}_o$ 上の余微分作用素に持ち上げる明示的公式が与えられる。
• コンパクト化された配置空間の点のスペクトル系列の $E^1$ 項を用いて、OCHAの操作的構造を解釈し、スイスチーズ操作と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 OCHA構造は余代数 $\Lambda^c\mathcal{H}_c \otimes T^c\mathcal{H}_o$ に本質的に埋め込まれているのか、それとも外部から強制されているのか？
• RQ2 OCHAにおける $n_{p,0}$ マップは、閉じた弦を開放する物理的プロセスを表すが、その数学的解釈を余代数枠組み内で一貫して与えることは可能か？
• RQ3 OCHA構造は、$A_\infty$-代数の $A_\infty$-拡大から体系的に構成可能か？
• RQ4 OCHAの普遍包あらゆる $A_\infty$-代数とは何か？ また、その $L_\infty$-部分および $A_\infty$-部分の普遍包あらゆる $A_\infty$-代数とどのように関係しているか？
• RQ5 対称化およびシャッフル写像 $\Xi$ は、$\mathcal{H}_c \oplus \mathcal{H}_o$ 上の $A_\infty$-拡大とOCHA構造をどのように関連付けるか？

主な発見

• 任意の余微分作用素が余代数 $\Lambda^c\mathcal{H}_c \otimes T^c\mathcal{H}_o$ 上に存在するとき、OCHA制約を自動的に満たす。これは、OCHA構造がこの余代数に本質的に埋め込まれていることを証明する。
• $(\mathcal{H}_c, \mathcal{H}_o)$ 上のOCHA構造は、$\Lambda^c\mathcal{H}_c \otimes T^c\mathcal{H}_o$ 上の次数1の余微分作用素 $\mathfrak{D}$ で $\mathfrak{D}^2 = 0$ を満たすものとちょうど一対一に対応する。
• 対称化およびシャッフルを用いて構成された写像 $\Xi: \Lambda^c\mathcal{H}_c \otimes T^c\mathcal{H}_o \to T^c(\mathcal{H}_c \oplus \mathcal{H}_o)$ により、$A_\infty$-拡大が $(\mathcal{H}_c, \mathcal{H}_o)$ 上のOCHA構造を誘導することが可能である。
• $\mathcal{H}_c$ 上の $L_\infty$-構造は、$A_\infty$-構造のLada-Markl対称化によって得られ、OCHA枠組みと整合的であることが保証される。
• OCHAの普遍包あらゆる $A_\infty$-代数は、$\mathcal{U}_\infty(\mathcal{H}_c)$ への $\mathcal{H}_o$ による $A_\infty$-拡大として構成され、任意の $A_\infty$-準同型がこの普遍包あらゆる $A_\infty$-代数から $A_\infty$-拡大へ因数分解可能であるという意味で普遍的である。
• 符号は可換性の符号とシャッフル置換に従い、多重線形写像を $\Lambda^c\mathcal{H}_c \otimes T^c\mathcal{H}_o$ 上の余微分作用素に持ち上げる明示的公式が提示され、余微分作用素構造が確認された。