[論文レビュー] On the coherence of Expected Shortfall

Carlo Acerbi, Dirk Tasche|ArXiv.org|Apr 17, 2001

Risk and Portfolio Optimization参考文献 9被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、損失分布が不連続であっても、適切に形式化された場合、最悪の100α%のケースにおける平均損失として定義される期待ショートフォールド（ES）が、一貫性のあるリスク測度であることを確立している。また、このES定義は、計算可能性に優れ、分布の不連続性によって一貫性を失う可能性のある代替定義（TCE や WCE）よりも優れていることを示している。

ABSTRACT

Expected Shortfall (ES) in several variants has been proposed as remedy for the defi-ciencies of Value-at-Risk (VaR) which in general is not a coherent risk measure. In fact, most definitions of ES lead to the same results when applied to continuous loss distributions. Differences may appear when the underlying loss distributions have discontinuities. In this case even the coherence property of ES can get lost unless one took care of the details in its definition. We compare some of the definitions of Expected Shortfall, pointing out that there is one which is robust in the sense of yielding a coherent risk measure regardless of the underlying distributions. Moreover, this Expected Shortfall can be estimated effectively even in cases where the usual estimators for VaR fail. Key words: Expected Shortfall; Risk measure; worst conditional expectation; tail con-ditional expectation; value-at-risk (VaR); conditional value-at-risk (CVaR); tail mean; co-herence; quantile; sub-additivity.

研究の動機と目的

• 期待ショートフォールド（ES）およびその関連リスク測度（TCE や WCE）の文献における一貫性に関する混乱を解消すること。
• 特に不連続な損失分布下での ES、TCE、WCE、および条件付きバリューオブリスク（CVaR）の間の数学的関係を明確にすること。
• 下位 α-分位数の積分に基づく特定の ES 定義——$\mathrm{ES}_\alpha(X) = \int_0^\alpha q_u(X) \, du / \alpha$——が、いかなる元の分布に対しても頑健で一貫性のあるリスク測度をもたらすことを示すこと。
• 標準的なバリューオブリスク（VaR）推定器が失敗する場合、特に離散的または混合分布においても、効果的な推定が可能になるようなこの ES 定義の有効性を示すこと。
• 同じ周辺分布を持つすべての確率空間上で WCE の最大値として ES を一般化表現することにより、分布に依存しない頑健性を付与すること。

提案手法

• 下位 α-分位数の積分による期待ショートフォールド（ES）の定義：$\mathrm{ES}_\alpha(X) = \int_0^\alpha q_u(X) \, du / \alpha$ により、一貫性と連続性を保証する。
• スクラーの定理を用いて、所定の周辺分布と従属構造を持つ確率変数を構築し、異なる確率空間間での比較を可能にする。
• 尾部強大数法則を適用して、標本における最悪の100α%の損失の平均が ES にほとんど確実に収束することを示し、その経験的推定の妥当性を裏付ける。
• ES と CVaR の等価性を示す。両者が同じ数学的定式化 $\mathrm{ES}_\alpha(X) = \mathbb{E}[X \mid X \leq x_{(\alpha)}]$ を満たすことを示すことで、両者の同一性を確立する。
• 指標関数による表現を用いて、ES の劣加法性を証明する：$\mathrm{ES}_\alpha(X+Y) \leq \mathrm{ES}_\alpha(X) + \mathrm{ES}_\alpha(Y)$ であり、差を分位数集合の指標関数によって上限付ける。
• 同じ分布を持つすべての確率変数上での WCE の最大値として ES の一般表現を導出する。これにより、ES が WCE の頑健なバージョンであることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 損失分布に不連続性がある場合、期待ショートフォールド（ES）は依然として一貫性のあるリスク測度であるか？
• RQ2 TCE、WCE、CVaR などの異なる ES 定義どうしの関係は何か？ そして、どの定義が最も頑健か？
• RQ3 一貫性、計算可能性、およびすべての分布にわたる頑健性を保証する、一元的な ES 定義を確立できるか？
• RQ4 ES に、元の確率空間に依存しない表現を与えることは可能か？ これにより、さらに頑健性が向上するか？
• RQ5 特に離散的または混合分布において、従来の VaR 推定器が失敗する状況でも、ES は信頼性高く推定可能か？

主な発見

• レベル α 以下の分位数の積分として定義される期待ショートフォールド（ES）は、損失分布に不連続性があっても一貫性を保証する。
• 期待ショートフォールド（ES）は条件付きバリューオブリスク（CVaR）と等価であり、適切な定式化のもとで両者は数学的に同一である。
• 尾部条件付き期待（TCE）は一般には一貫性がないが、本稿で提示された ES 定義は、あらゆる分布タイプに対して一貫性があり、頑健である。
• 分位数集合の指標関数を用いた表現を用いて、ES の劣加法性を証明した。これにより、分散化の効果が適切に捉えられていることが示された。
• 期待ショートフォールド（ES）は、同じ周辺分布を持つすべての確率空間上で WCE の最大値として表現可能であり、分布に依存しない頑健性を有する。
• 標本における最悪の100α%の損失の平均に基づく ES 推定器は、真の ES にほとんど確実に収束する。これにより、VaR 推定器が失敗する状況でも信頼性のある経験的推定が可能になる。