[論文レビュー] On the cohomology of a smash product of Hopf algebras

Mitja Mastnak|ArXiv.org|Oct 8, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、余代数的ホップ代数のスモーズ積のスウィードラー・コホモロジーに対して五項の完全系列を確立し、群の半直積のためのタハラの系列を一般化する。測定コホモロジーを導入し、ホップ代数 $ H = N \rtimes T $ のコホモロジーが $ \mathrm{H}^1_{\mathrm{meas}}(T, \mathrm{Hom}(N,A)) \to \widetilde{\mathrm{H}}^2(H,A) \to \mathrm{H}^2(N,A)^T \to \mathrm{H}^2_{\mathrm{meas}}(T, \mathrm{Hom}(N,A)) \to \widetilde{\mathrm{H}}^3(H,A) $ の形の完全系列に含まれることを示し、群コホモロジーの結果をホップ代数へと拡張する。

ABSTRACT

A five term sequence for the low degree cohomology of a smash product of (cocommutative) Hopf algebras is obtained, generalizing that of Tahara for a semi-direct product of groups.

研究の動機と目的

• 群の半直積のためのタハラの五項完全系列を、余代数的ホップ代数のスモーズ積の文脈へ拡張すること。
• スウィードラー・コホモロジーを介して、群コホモロジーの結果をホップ代数コホモロジーの文脈へ一般化すること。
• スモーズ積 $ N \rtimes T $ の第二コホモロジーの明確なコホモロジー的記述を、測定コホモロジーと安定コホモロジーを用いて確立すること。
• 作用が自明な場合の $ \widetilde{\mathrm{H}}^2(H,A) $ の構造を明確にし、$ T $、$ N $、および測定写像からの成分への分解を示すこと。

提案手法

• 余代数的ホップ代数 $ N $ および $ T $ と、$ H $-モジュラー代数 $ A $ を持つスモーズ積 $ H = N \rtimes T $ に対して、スウィードラー・コホモロジーにおける五項完全系列を構成する。
• 測定コホモロジー $ \mathrm{H}^i_{\mathrm{meas}}(T, \mathrm{Hom}(N,A)) $ を、$ N $ から $ A $ への $ T $-測定を捕捉する普遍測定ホップ代数 $ M(N,A) $ のコホモロジーとして定義する。
• 標準的なスウィードラー・チェイン複体を $ H $ に対して用い、係数を $ A $ とする。微分作用素は畳み込みとモジュール作用を介して定義する。
• 測定コサイクルを $ H $-コサイクルへと上げることにより、写像 $ j: \mathrm{H}^2_{\mathrm{meas}}(T, \mathrm{Hom}(N,A)) \to \widetilde{\mathrm{H}}^3(H,A) $ が適切に定義されることを証明する。
• $ \mathrm{res}: \widetilde{\mathrm{H}}^2(H,A) \to \mathrm{H}^2(N,A)^T $ の制限写像が、$ \mathrm{H}^2(N,A) $ の $ T $-不変部分に全射であり、合成 $ d \circ \mathrm{res} $ が消えることを示す。
• 特別な場合（例えば作用が自明な場合）において同型を確立し、$ \mathrm{H}^2(H,A) \simeq \mathrm{H}^2(T,A) \oplus \mathrm{H}^1_{\mathrm{meas}}(T, \mathrm{Hom}(N,A)) \oplus \mathrm{H}^2(N,A) $ の形の分解が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タハラの群コホモロジーの五項完全系列は、余代数的ホップ代数のスモーズ積の文脈へどのように一般化できるか？
• RQ2 測定コホモロジー $ \mathrm{H}^i_{\mathrm{meas}}(T, \mathrm{Hom}(N,A)) $ は、スモーズ積のコホモロジーを記述する上で果たす役割は何か？
• RQ3 制限写像 $ \mathrm{res}: \widetilde{\mathrm{H}}^2(H,A) \to \mathrm{H}^2(N,A)^T $ は、$ T $ の測定コホモロジーとどのように関係するか？
• RQ4 作用 $ T $ が $ N $ に対して自明な場合、$ \widetilde{\mathrm{H}}^2(H,A) $ の構造はどのようなものか？
• RQ5 特性がゼロの代数的に閉じた体 $ k $ に対して、$ H = U\mathfrak{g} \rtimes kG $ のコホモロジーは、この系列を用いて計算可能か？

主な発見

• 本稿は、スモーズ積 $ H = N \rtimes T $ のスウィードラー・コホモロジーに対して五項完全系列を確立し、群の半直積のためのタハラの系列を一般化する。
• 完全系列は $ 0 \to \mathrm{H}^1_{\mathrm{meas}}(T, \mathrm{Hom}(N,A)) \to \widetilde{\mathrm{H}}^2(H,A) \xrightarrow{\mathrm{res}} \mathrm{H}^2(N,A)^T \xrightarrow{d} \mathrm{H}^2_{\mathrm{meas}}(T, \mathrm{Hom}(N,A)) \xrightarrow{j} \widetilde{\mathrm{H}}^3(H,A) $ であり、各項で完全性が保たれる。
• 作用が自明な場合、$ \widetilde{\mathrm{H}}^2(H,A) \simeq \mathrm{H}^2(T,A) \oplus \mathrm{H}^1_{\mathrm{meas}}(T, \mathrm{Hom}(N,A)) \oplus \mathrm{H}^2(N,A) $ が成り立ち、第二コホモロジーの分解が得られる。
• 同型 $ \mathrm{H}^1_{\mathrm{meas}}(T, \mathrm{Hom}(N,A)) \simeq \mathrm{P}(T,N,A) $ が成り立ち、ここで $ \mathrm{P}(T,N,A) $ は $ T \times N $ から $ A $ への双測定写像の群を表す。
• $ k $ が特性ゼロで代数的に閉じた体であり、$ |G|^{-1} \in k $ であるとき、$ H = U\mathfrak{g} \rtimes kG $ に対して、$ \mathrm{H}^2(H,A) \simeq \mathrm{H}^2(G, \mathcal{U}(A)) \oplus \mathrm{H}^2(\mathfrak{g}, A^+)^G $ が成り立ち、ホワイトヘッドの補題によりリ Lie 代数部分が消えることが示される。
• 例として $ \mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n(k) $ かつ $ G \simeq C_n $ の場合、$ \mathrm{H}^2(H,k) \simeq k^\times / (k^\times)^n $ が成り立ち、この系列が明示的計算に有用であることを示している。