[論文レビュー] On the Connes-Kreimer construction of Hopf Algebras

Ieke Moerdijk|ArXiv.org|Jul 14, 1999

Advanced Topics in Algebra参考文献 8被引用数 37

ひとこと要約

本稿では、線形自己準同型を備えた代数の圏における初期対象からホップ代数の普遍的構成を提示する。これは、根付き木のコンヌ＝クレーマーのホップ代数を一般化するものであり、このような代数が自然に複数のホップ構造を備えていることを示し、元々のコンヌ＝クレーマーの構成が特別な場合として現れることを示す。また、自由代数から初期π[t]-代数への自然な再び戻す写像（retraction）を確立する。

ABSTRACT

We give a universal construction of families of Hopf $P$-algebras for any Hopf operad $P$. As a special case, we recover the Connes-Kreimer Hopf algebra of rooted trees.

研究の動機と目的

• 線形自己準同型を備えた代数からホップ代数を構成する普遍的な圏論的枠組みを提供すること。
• コンヌ＝クレーマーの根付き木ホップ代数が、可換単位的代数と線形自己準同型を備えた圏における初期対象として自然に現れることを示すこと。
• 対称モノイダル加法圏でテンソル積が良好に振る舞う場合に、任意のホップオペラッドに対してこの構成を一般化すること。
• 初期π[t]-代数が、すべての自己準同型が普遍的なホッシャルド2次コホモロジー類（cocycle）となるようなホップ代数構造の族を自然に持つことの証明。
• 自由代数からβ[t]-代数への初期π[t]-代数への自然な再び戻す写像r: H → u_!(A)を、ホップ代数および増分代数構造を保存する形で確立すること。

提案手法

• 初期π[t]-代数を、点付き対象と線形自己準同型を備えた自由π-代数として定義する。
• 木のノード数におけるq₁とq₂の累乗を含む普遍的恒等式を用いて、初期π[t]-代数上に族をなすコプロダクトを構成する。
• 初期対象の普遍性を用いて、任意のホップオペラッドπに対して初期π[t]-代数上にホップ代数構造を誘導する。
• 増分代数の分解を用いて、初期π[t]-代数からβ[t]-代数上の自由代数への再び戻す写像r: H → u_!(A)を定義する。
• 随伴性と分解を用いて、A上の自己準同型αを自由代数上に拡張することで、u_!(A)上に写像αを構成する。
• 初期性と自己準同型および増分写像との整合性を用いて、r ∘ j = idを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンヌ＝クレーマーの根付き木ホップ代数は、恣意的定義ではなく、普遍的な圏論的構成から導出可能か？
• RQ2 線形自己準同型を備えた初期代数上に自然に定義可能なホップ代数構造の族は何か？
• RQ3 π[t]-代数における初期対象の普遍的性質が、複数の整合性を持つホップ構造をどのように導くか？
• RQ4 自己準同型λはホップ代数のホッシャルドコhomologyにおいて果たす役割は何か？そしてそれがなぜ普遍的なのか？
• RQ5 β[t]-代数上の自由代数から初期π[t]-代数への自然な再び戻す写像が存在するか？その写像はホップ代数および増分代数構造を保存するか？

主な発見

• コンヌ＝クレーマーの根付き木ホップ代数は、可換単位的代数と線形自己準同型を備えた圏における初期対象である。
• 任意の複素数q₁とq₂に対して、恒等式 Δ(λ(T)) = ∑ q₁^{|T_{(1)}|} T_{(1)} ⊗ λ(T_{(2)}) + λ(T_{(1)}) ⊗ q₂^{|T_{(2)}|} T_{(2)} によって、初期代数上のコプロダクトが一意に定まる。これは元々のコンヌ＝クレーマーのコプロダクトを一般化する。
• 元々のコンヌ＝クレーマーのコプロダクトは、q₁ = 1、q₂ = 0 の場合に対応し、標準的な木ホップ代数が回復される。
• 初期π[t]-代数は、任意のホップオペラッドπに対して自然にホップπ-代数構造の族を備え、自己準同型が普遍的なホッシャルド2次コホモロジー類（cocycle）となる。
• 初期π[t]-代数からβ[t]-代数上の自由代数への自然な再び戻す写像r: H → u_!(A)が存在し、r ∘ j = idが成り立つ。ここでjは標準的埋め込みである。
• 写像rは増分を保存し、木をその最大の枝の積に写すが、コプロダクトとは可換でない。