[論文レビュー] On the cohomology of regular surfaces isogenous to a product of curves with $\chi(\mathcal{O}_S)=2$

Matteo Bonfanti|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、正則で、ホロモルフィックオイラー特性 χ(OS) = 2 である、曲線の高次積の上に同型な unmixed 型の表面の有理ホッジ構造について研究する。群表現論と群代数分解を用いて、2つの楕円曲線 EC と ED に対して、第二有理コホモロジー群 H²(S, ℚ) が有理ホッジ構造として H²(EC × ED, ℚ) に同型であることを証明する。この結果により、ピカール数が最大の 4 である、2つの新しい一般型表面の族が特定される。

ABSTRACT

Let $S$ be a surface isogenous to a product of curves of unmixed type. After presenting several results useful to study the cohomology of $S$ we prove a structure theorem for the cohomology of regular surfaces isogenous to a product of unmixed type with $\chi (\mathcal{O}_S)=2$. In particular we found two families of surfaces of general type with maximal Picard number.

研究の動機と目的

• 曲線の高次積の上に同型な表面 S に対して、第二コホモロジー群 H²(S, ℚ) の有理ホッジ構造を理解すること。
• 群表現論を用いて、χ(OS) = 2 である unmixed 型の正則表面を分類すること。
• そのような表面のピカール数 ρ(S) を特定し、ピカール数が最大となる場合を同定すること。
• H²(S, ℚ) と楕円曲線の積のコホモロジーとの間の構造的同型を確立すること。
• 中間の楕円商が存在するか、または存在しないかの幾何学的および群論的条件を調査すること。

提案手法

• G が2つの曲線 C と D の積上で自由に作用する最小実現 S ≅ (C × D)/G を用いる。
• 群代数分解を用いて、G-加群 H¹(C, ℚ) ⊗ H¹(D, ℚ) を通じて H²(S, ℚ) を分解する。
• 球面的生成系と分岐被覆を用いて、G が曲線 C と D の第一コホモロジーに作用する様子を分析する。
• 複素既約表現に分解される複素数体へのテンソル積 τ ⊗ ℂ を持つ G の無限小有理表現 τ を特定し、その核 H を計算して中間商を定義する。
• リーマン＝フリーザーの公式を用いて、商曲線 C/H と D/H の genus を計算し、特にそれらが楕円曲線（genus 1）である場合に注目する。
• G-不変部分空間が楕円曲線の積のコホモロジーと一致することを示すことで、ホッジ同型 H²(S, ℚ) ≅ H²(EC × ED, ℚ) を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則で、χ(OS) = 2 である unmixed 型の高次積の上に同型な表面 S に対して、H²(S, ℚ) の有理ホッジ構造の構造は何か？
• RQ2 H²(S, ℚ) が楕円曲線 EC と ED の積に対して H²(EC × ED, ℚ) に同型となるための、群論的および幾何学的条件は何か？
• RQ3 HC と HD が G の部分群で、C/HC と D/HD がいずれも楕円曲線であるような中間商 C/HC と D/HD が存在するか？
• RQ4 そのような表面のピカール数 ρ(S) は何か？ また、いつ最大となるか？
• RQ5 群作用の分解を用いて、S のコホモロジーが楕円曲線の積のコホモロジーとして実現可能か？

主な発見

• 任意の正則で、χ(OS) = 2 である unmixed 型の高次積の上に同型な表面 S に対して、2つの楕円曲線 EC と ED が存在し、H²(S, ℚ) ≅ H²(EC × ED, ℚ) が有理ホッジ構造として成り立つ。
• H²(S, ℚ) のホッジ構造は、H¹(C, ℚ) ⊗ H¹(D, ℚ) の G-不変部分空間として生じ、この部分空間は楕円曲線の積のコホモロジーと同型である。
• 群 G = (Z₂)³ ⋊ Z₄ で、特定の分岐構造を持つ場合、商曲線 C/H₁, C/H₂, D/H₁, D/H₂ 全ての genus が 1 であることが確認され、楕円商の存在が裏付けられる。
• そのような表面のピカール数 ρ(S) は ρ(EC × ED) に等しく、研究された例では ρ(S) = 4 であり、h¹¹(S) = 4 であるため、これは最大である。
• 例として、(Z₃)² というアーベル群と、genus 4 の曲線 D を用いた場合、G の任意の部分群 H ≤ G に対して、D/H が genus 1 となるものは存在しない。これは、中間の楕円商が常に存在するわけではないことを示している。
• 第3.1節および第3.3節で構成された表面は、ρ(S) = h¹¹(S) = 4 であるため、ピカール数が最大の4である一般型表面の例である。