[論文レビュー] On the Cohomology of the Lie Superalgebra of Contact Vector Fields on $S^{1|2}$

Boujemaâ Agrebaoui, Nizar Ben Fraj+1 more|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Mar 23, 2006

Advanced Topics in Algebra被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、超円周 $S^{1|2}$ 上の接触ベクトル場のリー超代数 ${\mathcal{K}}(2)$ と超擬微分作用素 ${\mathcal{S}}\Psi{\mathcal{D}}{\mathcal{O}}(S^{1|2})$ との係数における最初のコホモロジー空間を計算する。Ovsienko と Roger のアイデアにインspiredされたスペクトル系列技術を用いて、著者たちはその空間が10次元であり、完全に偶数であることを証明し、すべての10の同値類に対して明示的な基底コサイクルを提供する。

ABSTRACT

We investigate the first cohomology space associated with the embedding of the Lie superalgebra $\cK(2)$ of contact vector fields on the (1,2)-dimensional supercircle $S^{1\mid 2}$ in the Lie superalgebra $\cSΨ\cD \cO(S^{1\mid 2})$ of superpseudodifferential operators with smooth coefficients. Following Ovsienko and Roger, we show that this space is ten-dimensional with only even cocycles and we give explicit expressions of the basis cocycles.

研究の動機と目的

• リー超代数 ${\mathcal{K}}(2)$ が (1,2)次元の超円周上に作用する接触ベクトル場の最初のコホモロジー空間 $H^1({\mathcal{K}}(2), {\mathcal{S}}\Psi{\mathcal{D}}{\mathcal{O}}(S^{1|2}))$ を計算すること。
• Ovsienko と Roger の $S^{1|1}$ 上の超円周に対する手法を、$S^{1|2}$ の場合に拡張すること。スペクトル系列とフィルトレーション付き加群を用いる。
• 1-コサイクルの空間を分類し、それが偶数か奇数かを特定すること。特にコホモロジー空間の構造に注目する。
• コホモロジー空間の基底を明示的に構成し、すべての非自明なコサイクルを特徴づけること。
• 埋め込み ${\mathcal{K}}(2) \hookrightarrow {\mathcal{S}}\Psi{\mathcal{D}}{\mathcal{O}}(S^{1|2})$ の多項式変形の分類に寄与すること。

提案手法

• 擬微分作用素の順序によるフィルトレーションを ${\mathcal{S}}\Psi{\mathcal{D}}{\mathcal{O}}(S^{1|2})$ に適用し、フィルター付きリー超代数コホモロジーにスペクトル系列法を適用する。
• スペクトル系列の $E_1$-頁を計算するために、${\mathcal{S}}\Psi{\mathcal{D}}{\mathcal{O}}(S^{1|2})$ の順序ごとの順次商 $\mathrm{Grad}^p({\mathcal{S}}\Psi{\mathcal{D}}{\mathcal{O}}(S^{1|2}))$ を用い、$E_1^{p,q} = H^{p+q}({\mathcal{K}}(2), \mathrm{Grad}^p({\mathcal{S}}\Psi{\mathcal{D}}{\mathcal{O}}(S^{1|2})))$ を特定する。
• 候補となるコサイクル $\Upsilon_1, \ldots, \Upsilon_{10}$ が連続する微分 $d_r$ に対してどのように作用するかを分析し、$E_\infty$-頁に到達するものを特定する。
• コサイクルを ${\mathcal{S}}\Psi{\mathcal{D}}{\mathcal{O}}(S^{1|2})$ に持ち上げ、その微分の主要項を抽出することで、$d_1$ を記号的に計算する。
• 重み付き密度の理論を $S^{1|2}$ 上に適用し、$S^{1|1}$ の場合と類似するコホモロジー的構造をモデル化する。
• ${\mathcal{S}}\Psi{\mathcal{D}}{\mathcal{O}}(S^{1|2})$ 内の超交換子と合成則を、$x$, $\theta_i$, $\xi$, $\bar{\theta}_i$ における偏微分を用いて定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最初のコホモロジー空間 $H^1({\mathcal{K}}(2), {\mathcal{S}}\Psi{\mathcal{D}}{\mathcal{O}}(S^{1|2}))$ の次元とパリティ構造は何か？
• RQ2 ${\mathcal{S}}\Psi{\mathcal{D}}{\mathcal{O}}(S^{1|2})$ 内の1-コサイクルのうち、${\mathcal{K}}(2)$ の作用に関して非自明で線形独立なものはどれか？
• RQ3 スペクトル系列の微分 $d_r$ は候補コサイクルにどのように作用し、どのものが $E_\infty$-頁に到達するか？
• RQ4 コホモロジー空間は明示的に構成された偶数コサイクルによって張られるか？また、奇数コサイクルは存在するか？
• RQ5 多項式変形の観点から、埋め込み ${\mathcal{K}}(2) \hookrightarrow {\mathcal{S}}\Psi{\mathcal{D}}{\mathcal{O}}(S^{1|2})$ の構造はどのようなものか？

主な発見

• 最初のコホモロジー空間 $H^1({\mathcal{K}}(2), {\mathcal{S}}\Psi{\mathcal{D}}{\mathcal{O}}(S^{1|2}))$ は10次元である。
• すべてのコホモロジー空間は完全に偶数である。奇数コサイクルは存在しない。
• この空間は、$F$、その微分、および作用素 $\eta_i$, $\xi$, $\zeta_i$ を含む特定の式によって定義される10個の明示的な1-コサイクル $\Theta_1, \ldots, \Theta_{10}$ の類によって張られる。
• $\Theta_1, \Theta_2, \Theta_3$ はスペクトル系列で次数 $-1$ にあり、$\Theta_4, \ldots, \Theta_9$ は次数 $0$ にあり、$\Theta_{10}$ は次数 $1$ にある。
• スペクトル系列の解析により、すべての10個のコサイクルが $E_\infty$-頁に到達することが確認され、それらの線形独立性と非自明性が裏付けられた。
• 以前の $S^{1|1}$ に関する研究を一般化し、コホモロジー空間の完全な基底を提供し、埋め込み ${\mathcal{K}}(2) \to {\mathcal{S}}\Psi{\mathcal{D}}{\mathcal{O}}(S^{1|2})$ の多項式変形の分類を支援する。