[論文レビュー] On the cohomology ring of the moduli space of rank 2 vector bundles on a curve

Alastair King, P. E. Newstead|ArXiv.org|Feb 16, 1995

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、滑らかな複素射影曲線（Genus g）上で固定された奇数次元の決定因子をもつ安定なランク2ベクトル束のモジュライ空間の有理コホモロジー環について考察する。代数幾何学および不変理論を用いて、Mumfordが提唱したコホモロジー環の構造的公式が正当であることを検証し、写像類群作用下での不変部分環が完全交差環であることを確立し、不変関係式のイデアルに対するグレブナー基底を提供することで、自然な単項式基底を構成する。

ABSTRACT

Let $\MS_g$ be the moduli space of stable holomorphic vector bundles of rank 2 and fixed determinant of odd degree over a smooth complex projective curve of genus $g$. This paper proves various properties of the rational cohomology ring $H^*(\MS_g)$. It is shown that the first relation in genus $g$ between the standard generators satisfies a recurrence relation in $g$ and that the invariant subring for the mapping class group is a complete intersection ring. (These two results have been obtained independently by Zagier, Baranovsky and Siebert & Tian.) A Gröbner basis is found for the ideal of invariant relations. A structural formula for $H^*(\MS_g)$ (originally conjectured by Mumford) is verified and a natural monomial basis is given.

研究の動機と目的

• 曲線のGenus g上で固定された奇数次元の決定因子をもつ安定なランク2ベクトル束のモジュライ空間の有理コホモロジー環を理解すること。
• Mumfordが提唱したコホモロジー環 H*(M_g) の構造的公式を検証すること。
• 写像類群作用下での不変部分環の構造を特定すること。
• コホモロジー環における不変関係式のイデアルのグレブナー基底を計算すること。
• コホモロジー環 H*(M_g) に対する自然な単項式基底を構成すること。

提案手法

• 著者たちは、安定ランク2ベクトル束のモジュライ空間 M_g のコホモロジー環を分析するために代数幾何学的手法を用いる。
• Genus g における標準的生成子間の最初の関係についての再帰的関係を確立する。
• 不変理論を適用して、写像類群作用下での固定部分環が完全交差環であることを示す。
• 写像類群作用で不変な関係式のイデアルのグレブナー基底を計算する。
• グレブナー基底を用いて、コホモロジー環の単項式基底を構成し、Mumfordの予想を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Genus g の曲線上で固定された奇数次元の決定因子をもつランク2ベクトル束のモジュライ空間の有理コホモロジー環 H*(M_g) の構造は何か？
• RQ2 コホモロジー環の標準的生成子どうしの関係は何か？また、Genus g が増加するにつれて最初の関係に再帰的構造があるか？
• RQ3 写像類群作用下での不変部分環は完全交差環か？
• RQ4 Mumfordが提唱した H*(M_g) の構造的公式は正しいか？
• RQ5 H*(M_g) に対して自然な単項式基底を明示的に構成できるか？

主な発見

• H*(M_g) の標準的生成子間の最初の関係は、Genus g に関して再帰的関係を満たす。
• 写像類群作用下での不変部分環は完全交差環である。
• コホモロジー環における不変関係式のイデアルに対して、明示的なグレブナー基底が計算された。
• Mumfordが当初予想した H*(M_g) の構造的公式は、正しく確認された。
• コホモロジー環 H*(M_g) に対して自然な単項式基底が構成され、その有限次元的かつ良好に構造化された性質が裏付けられた。