[論文レビュー] On the Commuting Local Hamiltonian Problem, and Tight Conditions on Topological Order

Dorit Aharonov, Lior Eldar|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 4被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、BravyiとVyalyiの2003年の結果を、平面的またはほぼユークリッド的格子上のキュービットおよびキュートリットにおける三体相互作用に拡張し、問題がNPにとどまること、および基底状態の量子もつれが局所的であることを証明する。また、量子相転移の鋭い遷移を明らかにする：三体相互作用を持つキュービット／キュートリットの可換局所ハミルトニアンはトポロジカルオーダーを実現できないが、四体以上または高次元系では可能である。これは、Kitaevのトーリックコードがこのような構成において最適であることを示している。

ABSTRACT

The local Hamiltonian problem plays the equivalent role of SAT in quantum complexity theory. Understanding the complexity of the intermediate case in which the constraints are quantum but all local terms in the Hamiltonian commute, is of importance for conceptual, physical and computational complexity reasons. Bravyi and Vyalyi showed in 2003, using a clever application of the representation theory of C*-algebras, that if the terms in the Hamiltonian are all two-local, the problem is in NP, and the entanglement in the ground states is local. The general case remained open since then. In this paper we extend the results of Bravyi and Vyalyi beyond the two-local case, to the case of three-qubit interactions. We then extend our results even further, and show that NP verification is possible for three-wise interaction between qutrits as well, as long as the interaction graph is embedded on a planar lattice, or more generally, Nearly Euclidean (NE). The proofs imply that in all such systems, the entanglement in the ground states is local. These extensions imply an intriguing sharp transition phenomenon in commuting Hamiltonian systems: 3-local NE systems based on qubits and qutrits cannot be used to construct Topological order, as their entanglement is local, whereas for higher dimensional qudits, or for interactions of at least 4 qudits, Topological Order is already possible, via Kitaev's Toric Code construction. We thus conclude that Kitaev's Toric Code construction is optimal for deriving topological order based on commuting Hamiltonians.

研究の動機と目的

• BravyiとVyalyiの2003年の二体相互作用における可換局所ハミルトニアンの結果を三体相互作用に一般化すること。
• 三キュービットおよび三キュートリット相互作用における可換局所ハミルトニアン問題が、NPにとどまるかどうかを特定すること。
• このような可換系の基底状態におけるもつれの性質を調査すること。
• 可換ハミルトニアン系においてトポロジカルオーダーが出現する最小の条件を同定すること。
• 可換ハミルトニアンを用いたトポロジカルオーダーの実現において、Kitaevのトーリックコード構成が最適であることを確立すること。

提案手法

• BravyiとVyalyiが用いたC*-代数の表現論的技法を三体相互作用に拡張する。
• 平面的およびほぼユークリッド的（NE）格子上の可換ハミルトニアンの構造を分析し、基底状態のもつれを制約する。
• 代数的および位相的制約を適用して、可能な基底状態とそのもつれ性質を分類する。
• 相互作用格子のグラフ論的埋め込みを用いて、NP検証フレームワークの適用可能性を保証する。
• 三体系における長距離もつれの不在が、局所ハミルトニアン問題のNP完全性を示す。
• Kitaevのトーリックコードを、可換ハミルトニアン系におけるトポロジカルオーダーの閾値を比較する基準として活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面的格子上の三体キュービット相互作用における可換局所ハミルトニアン問題は、NPで検証可能か？
• RQ2 三体可換ハミルトニアンの基底状態におけるもつれは、厳密に局所的のままであろうか？
• RQ3 可換ハミルトニアンモデルにおいてトポロジカルオーダーを実現するための最小の相互作用強度または系次元は何か？
• RQ4 局所性およびクーディット次元に基づいて、トポロジカルオーダーを支持する系と支持しない系の間で鋭い遷移が存在するか？
• RQ5 可換ハミルトニアンを用いたトポロジカルオーダーの実現において、Kitaevのトーリックコード構成は最適か？

主な発見

• 平面的またはほぼユークリッド的格子上の三体キュービットおよびキュートリット相互作用における可換局所ハミルトニアン問題はNPに属する。
• このような系の基底状態は、長距離もつれやトポロジカル相関を持たず、局所的もつれのみを示す。
• 鋭い遷移が生じる：三体系におけるキュービットまたはキュートリットではトポロジカルオーダーを実現できないが、四体以上または高次元のクーディット系では可能である。
• Kitaevのトーリックコードによるトポロジカルオーダーの実現は、相互作用が少なくとも四体以上、または次元≥4のクーディットを含む場合に限られる。
• 可換ハミルトニアンを用いたトポロジカルオーダーの構築において、Kitaevのトーリックコードは最小の必要条件を満たしており、最適である。