[論文レビュー] On the complexity of Putinar-Vasilescu's Positivstellensatz

Ngoc Hoang Anh, Victor Magron|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2021

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ひとこと要約

この論文は、基本的コンパクトな半代数的集合上での非負多項式の和二乗（SOS）表現の次数の上限を導出することにより、Putinar-VasilescuのPositivstellensatzの多項式時間計算量の上限を確立する。多項式最適化におけるユニットボール上での、Moment-SOS階層の収束速度は O(ε⁻⁶⁵) であり、以前の指数関数的上限 O(exp(ε⁻ᶜ)) より顕著に改善されている。

ABSTRACT

We provide a new degree bound on the weighted sum-of-squares (SOS) polynomials for Putinar-Vasilescu's Positivstellensatz. This leads to another Positivstellensatz saying that if $f$ is a polynomial of degree at most $2 d_f$ nonnegative on a semialgebraic set having nonempty interior defined by finitely many polynomial inequalities $g_j(x)\\ge 0$, $j=1,\\dots,m$ with $g_1:=L-\\|x\\|_2^2$ for some $L>0$, then there exist positive constants $\\bar c$ and $c$ depending on $f,g_j$ such that for any $\\varepsilon>0$, for all $k\\ge \\bar c \\varepsilon^{-c}$, $f$ has the decomposition \\begin{equation} \\begin{array}{l} (1+\\|x\\|_2^2)^k(f+\\varepsilon)=\\sigma_0+\\sum_{j=1}^m \\sigma_jg_j \\,, \\end{array} \\end{equation} for some SOS polynomials $\\sigma_j$ being such that the degrees of $\\sigma_0,\\sigma_jg_j$ are at most $2(d_f+k)$. Here $\\|\\cdot\\|_2$ denotes the $\\ell_2$ vector norm. As a consequence, we obtain a converging hierarchy of semidefinite relaxations for lower bounds in polynomial optimization on basic compact semialgebraic sets. The complexity of this hierarchy is $\\mathcal{O}(\\varepsilon^{-c})$ for prescribed accuracy $\\varepsilon>0$. In particular, if $m=L=1$ then $c=65$, yielding the complexity $\\mathcal{O}(\\varepsilon^{-65})$ for the minimization of a polynomial on the unit ball. Our result improves the complexity bound $\\mathcal{O}(\\exp(\\varepsilon^{-c}))$ due to Nie and Schweighofer in [Journal of Complexity 23.1 (2007): 135-150].

研究の動機と目的

• 多項式最適化におけるPutinar-VasilescuのPositivstellensatzの多項式時間計算量の上限を確立すること。
• ボール制約を伴うコンパクトな半代数的集合上での非負多項式の和二乗（SOS）表現の明示的な次数の上限を導出すること。
• NieとSchweighoferの指数的収束速度 O(exp(ε⁻ᶜ)) を改善し、多項式的収束速度 O(ε⁻ᶜ) を達成すること。
• ユニットボールの場合の具体的な収束速度の例を提示し、c=65 を得ること。
• グローバルな多項式最適化のための、複雑さを制御可能な半定値緩和の収束階層を構築すること。

提案手法

• 重み付き和二乗表現を用いて、Putinar-VasilescuのPositivstellensatzにおけるSOS多項式の新たな次数の上限を導出する。
• 正の性質証明として、(1+‖x‖²)ᵏ(f+ε) = σ₀ + Σσⱼgⱼ の形を導入し、σⱼ は次数が 2(d_f + k) 以下のSOS多項式である。
• 重み関数の多項式近似と、同次SOS多項式によるグローバルな正性証明を採用する。
• 漸近的解析を用いて、ε に関して必要な次数 k の上限を評価し、O(ε⁻ᶜ) の複雑さに導く。
• 補題7を用いて、次数と同次性の制約を満たす同次SOS多項式を構成する。
• 氷菓子制約ケース（g₁ = xₙ² - ‖x′‖²）を分析し、ε に関する漸近的同値関係を用いて、明示的な定数 c=65 を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな半代数的集合に対して、Putinar-VasilescuのPositivstellensatzにおける和二乗表現の最適な次数の上限は何か？
• RQ2 多項式最適化において、Moment-SOS階層の収束速度はどの程度速いか？
• RQ3 ユニットボールの場合に、収束の複雑さを指数的 O(exp(ε⁻ᶜ)) から多項式的 O(ε⁻ᶜ) に改善できるか？
• RQ4 ユニットボールの場合の複雑さの上限 O(ε⁻ᶜ) の指数 c の明示的な値は何か？
• RQ5 重み関数およびその多項式近似の漸近的挙動は、最終的な複雑さの上限にどのように影響するか？

主な発見

• この論文は、Putinar-VasilescuのPositivstellensatzの新たな次数の上限を確立し、多項式最適化のための収束する半定値緩和の階層を構築した。
• 任意の ε > 0 に対して、(1+‖x‖²)ᵏ(f+ε) = σ₀ + Σσⱼgⱼ が、ある定数 c̄, c（f と gⱼ に依存）を用いて k ≥ c̄ε⁻ᶜ を満たす。
• 階層の複雑さは O(ε⁻ᶜ) であり、これは ε⁻¹ に関して多項式的であるため、以前の指数的上限 O(exp(ε⁻ᶜ)) よりも改善されている。
• 特にユニットボールの場合（m=1, g₁=1−‖x‖²）では、指数 c が 65 であることが証明され、複雑さは O(ε⁻⁶⁵) となる。
• ユニットボールの場合の階層の収束速度は O(k⁻¹/⁶⁵) であり、多項式的収束速度であることが確認された。
• 解析は、重み関数およびその近似の漸近的同値関係に依拠し、必要な次数 k の明確な上限に至った。